Beim Transponieren einer Matrix wird jede Zeile zu einer Spalte, ohne dass sich die Einträge selbst ändern. Diese einfache Umordnung passt Dimensionen für Produkte an, dreht die Orientierung einer Datentabelle und wird in linearen Abbildungen benötigt. Die Schreibweise lautet meist (A^T) und wird „A transponiert“ gelesen.
Aus einer Zeilenposition wird eine Spaltenposition
Besitzt (A) (m) Zeilen und (n) Spalten, so hat (A^T) (n) Zeilen und (m) Spalten. Der Eintrag aus Zeile (i), Spalte (j), wandert nach Zeile (j), Spalte (i). Die Werte werden weder sortiert noch neu berechnet; nur ihre Adressen ändern sich.
Eine 2-mal-3-Matrix wird somit zu einer 3-mal-2-Matrix. Von Hand liest man die ursprünglichen Zeilen nacheinander und schreibt sie senkrecht. Ändere unten einen Eintrag und verfolge seine Position in der Transponierten.
Transponiere eine 2 × 3-Matrix
Jede ursprüngliche Zeile wird zu einer Spalte.
Rechenregeln sichern die richtige Reihenfolge
Zweimaliges Transponieren liefert die Ausgangsmatrix. Eine Summe darf gliedweise transponiert werden, und ein Skalar bleibt als Faktor erhalten. Beim Produkt kehrt sich die Reihenfolge um: ((AB)^T=B^T A^T).
Die Dimensionen machen das sichtbar. Ist (A) 2 mal 3 und (B) 3 mal 4, dann ist (AB) 2 mal 4 und dessen Transponierte 4 mal 2. Rechts ist (B^T) 4 mal 3 und (A^T) 3 mal 2; auch dieses Produkt hat also die Ordnung 4 mal 2.
Symmetrische und schiefsymmetrische Matrizen
Eine quadratische Matrix heißt symmetrisch, wenn sie ihrer Transponierten entspricht. Ihre Einträge spiegeln sich an der Hauptdiagonalen. Gilt dagegen (A^T=-A), heißt sie schiefsymmetrisch; über den reellen Zahlen müssen dann alle Diagonaleinträge null sein.
Jede quadratische Matrix lässt sich in einen symmetrischen und einen schiefsymmetrischen Anteil zerlegen. Das wird unter anderem in Geometrie, Mechanik und Optimierung genutzt. Eine rechteckige Matrix besitzt zwar eine Transponierte, kann aber nicht im üblichen Sinn symmetrisch sein, weil Gleichheit dieselbe Ordnung voraussetzt.
Durchgerechnetes Beispiel mit einer rechteckigen Matrix
Die erste Zeile sei 2, −1, 4 und die zweite 0, 3, 5. Die erste Zeile wird zur ersten Spalte, die zweite zur zweiten Spalte. Das Ergebnis hat drei Zeilen und zwei Spalten.
Prüfe einzelne Adressen: 4 wandert von (1,3) nach (3,1), während 3 bei (2,2) auf der Hauptdiagonalen bleibt. Nochmaliges Transponieren stellt die Ausgangsmatrix wieder her. Den größeren Zusammenhang erklärt der Überblick über Matrizen.
Anwendungen bei Daten und Abbildungen
In einer Datentabelle können Zeilen Beobachtungen und Spalten Merkmale darstellen; die Transposition tauscht diese Rollen. Für Skalarprodukte und kleinste Quadrate wird ein Spaltenvektor zum Zeilenvektor. Bei einer reellen orthogonalen Matrix ist die Transponierte zugleich die Inverse, doch diese besondere Eigenschaft gilt nicht für beliebige Matrizen.
Zur Kontrolle werden zunächst alte und neue Dimension notiert. Prüfe danach zwei Einträge außerhalb der Hauptdiagonalen anhand ihrer vertauschten Indizes. Transponieren ist keine Drehung um 90 Grad: Bei einer Drehung ändert sich zusätzlich die Reihenfolge innerhalb von Zeilen oder Spalten, während die Transposition nur an der Hauptdiagonalen spiegelt. In Programmen ist diese Unterscheidung besonders wichtig, weil eine optisch ähnliche Tabelle eine andere mathematische Bedeutung besitzen kann.
