En transponert matrise dannes ved å gjøre hver rad til en kolonne uten å endre elementverdiene. Omordningen får dimensjoner til å passe i bestemte produkter, snur en datatabell og brukes i lineære avbildninger. Vanlig skrivemåte er (A^T), lest «A transponert».
Fra radplass til kolonneplass
Har (A) (m) rader og (n) kolonner, har (A^T) (n) rader og (m) kolonner. Elementet i rad (i), kolonne (j), flyttes til rad (j), kolonne (i). Tallene sorteres eller beregnes ikke på nytt; bare plasseringen endres.
En 2 ganger 3-matrise blir dermed 3 ganger 2. For hånd kan du lese de opprinnelige radene og skrive dem loddrett. Endre et element nedenfor og følg den nye plassen.
Transponer en 2 × 3-matrise
Hver opprinnelige rad blir en kolonne i den transponerte matrisen.
Regneregler som sikrer riktig rekkefølge
To transponeringer gir startmatrisen tilbake. En sum kan transponeres leddvis, og en skalar beholdes. I et produkt snus rekkefølgen: ((AB)^T=B^T A^T).
Dimensjonene forklarer regelen. Hvis (A) er 2 ganger 3 og (B) 3 ganger 4, er (AB) 2 ganger 4 og den transponerte 4 ganger 2. På høyre side er (B^T) 4 ganger 3 og (A^T) 3 ganger 2, så produktet er også 4 ganger 2.
Symmetriske og skjevsymmetriske matriser
En kvadratisk matrise er symmetrisk når den er lik sin transponerte; elementene speiles i hoveddiagonalen. Den er skjevsymmetrisk når (A^T=-A). Over de reelle tallene må alle diagonalelementene da være null.
Enhver kvadratisk matrise kan deles i en symmetrisk og en skjevsymmetrisk del. Det brukes i geometri, mekanikk og optimering. En rektangulær matrise har en transponert, men kan ikke være symmetrisk i vanlig forstand, fordi likhet krever samme orden.
Gjennomregnet rektangulært eksempel
Ta radene (2,−1,4) og (0,3,5). Den første blir første kolonne og den andre andre kolonne. Resultatet har tre rader og to kolonner.
Kontroller indeksene: 4 går fra (1,3) til (3,1), mens 3 blir på (2,2) i diagonalen. En ny transponering gjenskaper utgangspunktet. Se matriser og regneoperasjoner for helheten.
Bruk i data og transformasjoner
I en tabell kan rader være observasjoner og kolonner variabler; transponering bytter rollene. I skalarprodukter og minste kvadraters metode blir en kolonnevektor til en radvektor. For en reell ortogonal matrise er den transponerte også inversen, men det er en spesiell egenskap.
Som kontroll bør du skrive ordenen før og etter og følge minst to elementer utenfor hoveddiagonalen ved hjelp av de byttede indeksene. Transponering er ikke en 90 graders rotasjon: en rotasjon snur også rekkefølgen på noen elementer, mens transponering bare speiler plassene i hoveddiagonalen. Test gjerne en rektangulær matrise i et program. En feil rutine kan på en kvadratisk matrise tilfeldigvis beholde samme størrelse og derfor se troverdig ut. To transponeringer skal dessuten føre hvert element nøyaktig tilbake til startplassen.
