En transponerad matris skapas genom att varje rad blir en kolumn utan att elementens värden ändras. Omordningen gör vissa multiplikationer möjliga, vänder en datatabells orientering och används i linjära avbildningar. Den vanliga beteckningen är (A^T), ”A transponerad”.
Från radposition till kolumnposition
Om (A) har (m) rader och (n) kolumner, har (A^T) (n) rader och (m) kolumner. Elementet på rad (i), kolumn (j), flyttas till rad (j), kolumn (i). Inga tal sorteras eller räknas om; bara adressen ändras.
En 2 gånger 3-matris blir alltså 3 gånger 2. För hand kan du läsa varje ursprunglig rad och skriva den lodrätt. Ändra ett element nedan och följ dess nya plats.
Transponera en 2 × 3-matris
Varje ursprunglig rad blir en kolumn i transponatet.
Egenskaper som säkrar rätt ordning
Två transponeringar ger tillbaka ursprungsmatrisen. En summa kan transponeras termvis och en skalär faktor ligger kvar. För en produkt vänds ordningen: ((AB)^T=B^T A^T).
Dimensionerna förklarar varför. Om (A) är 2 gånger 3 och (B) 3 gånger 4, är (AB) 2 gånger 4 och dess transponat 4 gånger 2. På höger sida är (B^T) 4 gånger 3 och (A^T) 3 gånger 2, så produkten är också 4 gånger 2.
Symmetriska och skevsymmetriska matriser
En kvadratisk matris är symmetrisk när den är lika med sitt transponat; elementen speglas i huvuddiagonalen. Den är skevsymmetrisk när (A^T=-A). Över de reella talen måste då alla diagonalelement vara noll.
Varje kvadratisk matris kan delas i en symmetrisk och en skevsymmetrisk del. Uppdelningen används i geometri, mekanik och optimering. En rektangulär matris har ett transponat men kan inte vara symmetrisk i vanlig mening, eftersom likhet kräver samma dimension.
Genomräknat rektangulärt exempel
Ta raderna (2,−1,4) och (0,3,5). Den första blir transponatets första kolumn och den andra dess andra kolumn. Resultatet har tre rader och två kolumner.
Kontrollera index: 4 går från (1,3) till (3,1), medan 3 ligger kvar på (2,2) i diagonalen. En ny transponering återställer startmatrisen. Se matriser och räkneoperationer för sammanhanget.
Användning i data och avbildningar
I en tabell kan rader vara observationer och kolumner variabler; transponering byter rollerna. I skalärprodukter och minsta kvadratmetoden blir en kolonnvektor en radvektor. För en reell ortogonal matris är transponatet även inversen, men det är en särskild egenskap.
Som kontroll bör du skriva dimensionen före och efter samt följa minst två element utanför huvuddiagonalen med ombytta index. Transponering är inte en vridning med 90 grader: en vridning vänder också ordningen hos vissa element, medan transponatet bara speglar positionerna i huvuddiagonalen. Testa gärna ett rektangulärt fall i ett program. En felaktig rutin kan på en kvadratisk matris råka behålla samma storlek och därför se rimlig ut. Två transponeringar ska dessutom återföra varje element exakt till utgångsläget.
