La transpuesta de una matriz se obtiene convirtiendo cada fila en una columna sin cambiar el valor de sus elementos. Esta operación reorganiza dimensiones para que ciertos productos sean posibles, cambia la orientación de tablas de datos y aparece en transformaciones lineales. Suele escribirse (A^T), que se lee «A transpuesta».
Del elemento de una fila a la columna correspondiente
Si (A) tiene (m) filas y (n) columnas, (A^T) tiene (n) filas y (m) columnas. El elemento de la fila (i) y la columna (j) pasa a la fila (j) y la columna (i). No se ordenan los números ni se calculan valores nuevos: solo cambia su dirección dentro de la tabla.
Por eso, una matriz 2 por 3 se convierte en una matriz 3 por 2. Un método seguro consiste en leer cada fila original y escribirla verticalmente. Modifica cualquier entrada del panel y observa dónde reaparece.
Transpón una matriz 2 × 3
Cada fila de la matriz original se convierte en una columna de la transpuesta.
Reglas algebraicas que fijan el orden correcto
Transponer dos veces devuelve la matriz inicial. La transpuesta de una suma se obtiene transponiendo cada sumando, y un escalar puede pasar a través de la operación. En un producto, el orden se invierte: ((AB)^T=B^T A^T).
Las dimensiones explican la inversión. Si (A) es 2 por 3 y (B) es 3 por 4, (AB) es 2 por 4 y su transpuesta es 4 por 2. A la derecha, (B^T) es 4 por 3 y (A^T), 3 por 2, así que el producto vuelve a ser 4 por 2.
Simetría respecto de la diagonal principal
Una matriz cuadrada es simétrica cuando coincide con su transpuesta: (a_{ij}=a_{ji}). Es antisimétrica cuando su transpuesta es la matriz opuesta; sobre los números reales, esto obliga a que toda la diagonal principal sea cero.
Toda matriz cuadrada puede separarse en una parte simétrica y otra antisimétrica. La descomposición resulta útil en geometría, mecánica y optimización. Una matriz rectangular sí tiene transpuesta, pero no puede ser simétrica en el sentido habitual porque la igualdad exige el mismo orden.
Ejemplo resuelto con dos filas y tres columnas
Toma la matriz con primera fila 2, −1, 4 y segunda fila 0, 3, 5. La primera fila forma la primera columna de la transpuesta, y la segunda forma la segunda columna. El resultado tiene tres filas y dos columnas.
Comprueba las posiciones: 4 pasa de (1,3) a (3,1), mientras que 3 permanece en (2,2) porque está en la diagonal. Una segunda transposición reconstruye la matriz inicial. Para el contexto de suma y producto, consulta las operaciones con matrices.
Cuándo aparece la transpuesta
En una tabla, las filas pueden ser observaciones y las columnas, variables; transponer intercambia esos papeles. En productos escalares y mínimos cuadrados, un vector columna se vuelve vector fila para ajustar dimensiones. En una matriz ortogonal real, la transpuesta coincide además con la inversa, pero esa propiedad especial no se extiende a cualquier matriz.
Para revisar una transposición, anota el orden antes y después y comprueba dos elementos alejados de la diagonal. No la confundas con girar el rectángulo 90 grados: un giro cambia también el orden en que aparecen algunos valores, mientras que la transposición refleja las posiciones respecto de la diagonal principal. Esa distinción evita muchos errores al programar tablas.
