De getransponeerde van een matrix ontstaat door elke rij in een kolom te veranderen zonder de waarden zelf te wijzigen. Deze herschikking maakt bepaalde producten mogelijk, draait een gegevenstabel om en komt terug in lineaire transformaties. De gebruikelijke notatie is (A^T), uitgesproken als “A getransponeerd”.
Van rijpositie naar kolompositie
Heeft (A) (m) rijen en (n) kolommen, dan heeft (A^T) (n) rijen en (m) kolommen. Het element uit rij (i), kolom (j), verhuist naar rij (j), kolom (i). Er wordt niets gesorteerd of herberekend; alleen de plaats verandert.
Een matrix van 2 bij 3 wordt dus 3 bij 2. Lees bij handwerk iedere oorspronkelijke rij en schrijf die verticaal. Verander hieronder een element en volg zijn nieuwe plaats.
Transposeer een matrix van 2 × 3
Elke oorspronkelijke rij wordt een kolom van de getransponeerde.
Eigenschappen die de volgorde bewaken
Twee keer transponeren geeft de beginmatrix terug. Een som mag term voor term worden getransponeerd en een scalaire factor blijft staan. Bij een product draait de volgorde om: ((AB)^T=B^T A^T).
De afmetingen bevestigen dit. Als (A) 2 bij 3 en (B) 3 bij 4 is, is (AB) 2 bij 4 en zijn getransponeerde 4 bij 2. Rechts is (B^T) 4 bij 3 en (A^T) 3 bij 2, zodat het product ook 4 bij 2 is.
Symmetrische en scheefsymmetrische matrices
Een vierkante matrix is symmetrisch als zij gelijk is aan haar getransponeerde; de elementen spiegelen in de hoofddiagonaal. Zij is scheefsymmetrisch als (A^T=-A). Over de reële getallen moeten de diagonaalelementen dan nul zijn.
Elke vierkante matrix kan worden opgesplitst in een symmetrisch en een scheefsymmetrisch deel. Dat is nuttig in meetkunde, mechanica en optimalisatie. Een rechthoekige matrix heeft wel een getransponeerde, maar kan niet symmetrisch zijn in de gewone betekenis omdat gelijkheid dezelfde orde vereist.
Uitgewerkt voorbeeld met een rechthoekige matrix
Neem de rijen (2,−1,4) en (0,3,5). De eerste wordt de eerste kolom, de tweede de tweede kolom. Het resultaat heeft drie rijen en twee kolommen.
Controleer de indices: 4 gaat van (1,3) naar (3,1), terwijl 3 op (2,2) in de hoofddiagonaal blijft. Nogmaals transponeren herstelt de beginmatrix. Zie matrices en bewerkingen voor de bredere regels.
Gebruik in gegevens en transformaties
In een tabel kunnen rijen waarnemingen en kolommen variabelen zijn; transponeren wisselt die rollen. Bij inproducten en kleinste kwadraten wordt een kolomvector een rijvector. Voor een reële orthogonale matrix is de getransponeerde ook de inverse, maar die bijzondere eigenschap geldt niet voor iedere matrix.
Noteer voor de controle de orde vóór en na de bewerking en volg minstens twee elementen buiten de hoofddiagonaal via hun verwisselde indices. Transponeren is niet hetzelfde als de tabel 90 graden draaien: een draaiing keert ook de volgorde van sommige elementen om, terwijl een transpositie alleen in de hoofddiagonaal spiegelt. Test in software bij voorkeur een rechthoekige matrix. Bij een vierkante matrix kan een foutieve implementatie toevallig dezelfde afmetingen behouden. Twee keer transponeren moet bovendien ieder element exact op zijn beginplaats terugbrengen.
