Transpoosimatriisi muodostetaan muuttamalla jokainen rivi sarakkeeksi ilman, että alkioiden arvot muuttuvat. Tämä järjestely sovittaa ulottuvuuksia matriisituloihin, kääntää tietotaulukon suunnan ja esiintyy lineaarikuvauksissa. Tavallinen merkintä on (A^T), ”A:n transpoosi”.
Rivipaikasta sarakepaikaksi
Jos (A):ssa on (m) riviä ja (n) saraketta, (A^T):ssa on (n) riviä ja (m) saraketta. Rivin (i), sarakkeen (j) alkio siirtyy riville (j), sarakkeeseen (i). Lukuja ei järjestetä tai lasketa uudelleen; vain paikka vaihtuu.
Koon 2 kertaa 3 matriisista tulee siis 3 kertaa 2. Käsin voit lukea alkuperäiset rivit ja kirjoittaa ne pystysuoraan. Muuta alla yhtä alkiota ja seuraa sen uutta paikkaa.
Transponoi 2 × 3-matriisi
Jokaisesta alkuperäisestä rivistä tulee transpoosin sarake.
Ominaisuudet pitävät järjestyksen oikeana
Kaksi transponointia palauttaa lähtömatriisin. Summan voi transponoida termeittäin, ja skalaarikerroin säilyy. Tulossa järjestys vaihtuu: ((AB)^T=B^T A^T).
Mitat selittävät säännön. Jos (A) on 2 kertaa 3 ja (B) 3 kertaa 4, (AB) on 2 kertaa 4 ja sen transpoosi 4 kertaa 2. Toisaalta (B^T) on 4 kertaa 3 ja (A^T) 3 kertaa 2, joten myös niiden tulo on 4 kertaa 2.
Symmetriset ja vinosymmetriset matriisit
Neliömatriisi on symmetrinen, kun se on transpoosinsa suuruinen; alkiot peilautuvat päälävistäjän suhteen. Se on vinosymmetrinen, kun (A^T=-A). Reaaliluvuilla kaikkien lävistäjäalkioiden on silloin oltava nollia.
Jokainen neliömatriisi voidaan jakaa symmetriseen ja vinosymmetriseen osaan. Hajotelmaa käytetään geometriassa, mekaniikassa ja optimoinnissa. Suorakulmaisella matriisilla on transpoosi, mutta se ei voi olla tavallisessa mielessä symmetrinen, koska yhtäsuuruus vaatii saman koon.
Laskettu esimerkki suorakulmaisesta matriisista
Ota riveiksi (2,−1,4) ja (0,3,5). Ensimmäisestä tulee transpoosin ensimmäinen sarake ja toisesta toinen. Tuloksessa on kolme riviä ja kaksi saraketta.
Tarkista indeksit: 4 siirtyy paikasta (1,3) paikkaan (3,1), kun taas 3 pysyy paikassa (2,2) lävistäjällä. Uusi transponointi palauttaa alkuperäisen. Katso kokonaisuus artikkelista matriisit ja laskutoimitukset.
Käyttö tiedoissa ja kuvauksissa
Taulukon rivit voivat olla havaintoja ja sarakkeet muuttujia; transponointi vaihtaa roolit. Pistetuotteissa ja pienimmän neliösumman menetelmässä sarakevektorista tehdään rivivektori. Reaalisen ortogonaalimatriisin transpoosi on myös käänteismatriisi, mutta ominaisuus ei ole yleinen.
Tarkistuksessa kannattaa kirjoittaa koko ennen ja jälkeen sekä seurata ainakin kahta päälävistäjän ulkopuolista alkiota vaihdettujen indeksien avulla. Transponointi ei ole taulukon kierto 90 astetta: kierrossa myös joidenkin alkioiden järjestys kääntyy, kun taas transpoosi peilaa paikat vain päälävistäjän suhteen. Ohjelmaa testattaessa käytä suorakulmaista matriisia. Virheellinen toteutus voi neliömatriisilla sattumalta säilyttää saman koon ja näyttää oikealta. Tee lisäksi transponointi kahdesti ja vertaa kaikkia alkioita lähtöön. Jos yksikin eroaa, ongelma on indeksoinnissa eikä pyöristyksessä, sillä operaatio ei muuta numeerisia arvoja.
