La trasposta di una matrice si ottiene trasformando ogni riga in una colonna, senza cambiare i valori degli elementi. Questa riorganizzazione rende compatibili alcune moltiplicazioni, cambia l'orientamento di una tabella di dati e compare nelle trasformazioni lineari. Si indica di solito con (A^T), letto “A trasposta”.
Dalla posizione di riga a quella di colonna
Se (A) ha (m) righe e (n) colonne, (A^T) ha (n) righe e (m) colonne. L'elemento in riga (i), colonna (j), passa in riga (j), colonna (i). I numeri non vengono ordinati né ricalcolati: cambia solo il loro indirizzo.
Una matrice 2 per 3 diventa quindi 3 per 2. A mano, leggi ogni riga originale e scrivila verticalmente. Modifica un elemento nel pannello per seguirne lo spostamento.
Trasponi una matrice 2 × 3
Ogni riga originale diventa una colonna della trasposta.
Proprietà che fissano l'ordine corretto
Trasporre due volte restituisce la matrice iniziale. La trasposta di una somma si calcola termine a termine e uno scalare attraversa l'operazione. Nel prodotto, invece, l'ordine si inverte: ((AB)^T=B^T A^T).
Le dimensioni lo confermano. Se (A) è 2 per 3 e (B) è 3 per 4, (AB) è 2 per 4 e la sua trasposta 4 per 2. Dall'altro lato, (B^T) è 4 per 3 e (A^T) 3 per 2, quindi il prodotto è ancora 4 per 2.
Matrici simmetriche e antisimmetriche
Una matrice quadrata è simmetrica quando coincide con la propria trasposta: gli elementi si riflettono rispetto alla diagonale principale. È antisimmetrica quando (A^T=-A); sui numeri reali, tutti gli elementi diagonali devono allora essere zero.
Ogni matrice quadrata può essere separata in una parte simmetrica e una antisimmetrica. La scomposizione è utile in geometria, meccanica e ottimizzazione. Una matrice rettangolare ha una trasposta, ma non può essere simmetrica nel senso usuale perché l'uguaglianza richiede lo stesso ordine.
Esempio svolto con una matrice rettangolare
Considera le righe (2,−1,4) e (0,3,5). La prima forma la prima colonna della trasposta e la seconda forma la seconda colonna. Il risultato possiede tre righe e due colonne.
Controlla gli indici: 4 passa da (1,3) a (3,1), mentre 3 resta in (2,2) sulla diagonale. Trasponendo di nuovo si recupera la matrice iniziale. Per somma e prodotto, continua con le operazioni tra matrici.
Impieghi nei dati e nelle trasformazioni
In una tabella, le righe possono rappresentare osservazioni e le colonne variabili; la trasposizione ne scambia il ruolo. Nei prodotti scalari e nei minimi quadrati, un vettore colonna diventa vettore riga. Per una matrice ortogonale reale, la trasposta è anche l'inversa, ma questa proprietà speciale non vale in generale.
Per controllare, annota l'ordine prima e dopo e verifica due elementi fuori dalla diagonale tramite gli indici scambiati. Trasporre non significa ruotare la tabella di 90 gradi: una rotazione inverte anche l'ordine di alcuni elementi, mentre la trasposizione riflette soltanto le posizioni rispetto alla diagonale principale. La distinzione è importante nei programmi, dove due tabelle simili possono descrivere entità completamente diverse.
