A transposta de uma matriz obtém-se transformando cada linha numa coluna, sem alterar os valores dos elementos. A operação parece simples, mas é essencial para compatibilizar dimensões em produtos, reorganizar tabelas de dados e descrever transformações lineares. Escreve-se habitualmente (A^T), que se lê «A transposta».
Como cada posição muda de linha para coluna
Se (A) tem (m) linhas e (n) colunas, (A^T) passa a ter (n) linhas e (m) colunas. O elemento que ocupava a linha (i) e a coluna (j) passa para a linha (j) e a coluna (i). Não há ordenação nem cálculo de novos valores: muda apenas a posição.
Uma matriz 2 por 3 torna-se, portanto, uma matriz 3 por 2. Um procedimento seguro é ler cada linha da matriz original e escrevê-la verticalmente na nova matriz. No quadro interativo, altere um elemento à esquerda e acompanhe a sua nova posição à direita.
Transponha uma matriz 2 × 3
Cada linha da matriz original torna-se uma coluna na transposta.
Propriedades que evitam erros de ordem
Transpor duas vezes devolve a matriz inicial. A transposta de uma soma pode ser calculada termo a termo, e um escalar pode atravessar a operação. No produto, porém, a ordem inverte-se: a transposta de (AB) é (B^T A^T), não (A^T B^T).
Veja a compatibilidade pelas dimensões. Se (A) é 2 por 3 e (B) é 3 por 4, então (AB) é 2 por 4 e a sua transposta é 4 por 2. Do outro lado, (B^T) é 4 por 3 e (A^T) é 3 por 2, logo o produto também é 4 por 2.
Matrizes simétricas e antissimétricas
Uma matriz quadrada é simétrica quando coincide com a sua transposta. Os elementos refletem-se em relação à diagonal principal, de modo que (a_{ij}) e (a_{ji}) são iguais. É antissimétrica quando a transposta é o oposto da matriz; nesse caso, todos os elementos da diagonal principal são zero nos números reais.
Qualquer matriz quadrada pode ser decomposta numa parte simétrica e noutra antissimétrica. Esta separação aparece em geometria, mecânica e otimização. Uma matriz retangular tem transposta, mas não é simétrica no sentido habitual, pois duas matrizes só podem ser iguais quando têm a mesma ordem.
Exemplo completo com uma matriz retangular
Considere a matriz cuja primeira linha é 2, −1, 4 e cuja segunda linha é 0, 3, 5. A primeira linha forma a primeira coluna da transposta, e a segunda linha forma a segunda coluna. O resultado tem três linhas e duas colunas.
Confirme pelas posições: o valor 4 estava em (1,3) e termina em (3,1); o valor 3 estava em (2,2) e permanece na diagonal. Ao transpor novamente, recupera-se a matriz original. Para rever soma e produto, consulte as operações com matrizes.
Aplicações em dados e transformações
Numa tabela de dados, as linhas podem representar observações e as colunas, variáveis. A transposição troca esses papéis. Em produtos escalares e mínimos quadrados, um vetor coluna é transposto para vetor linha a fim de tornar o produto possível. Numa matriz ortogonal real, a transposta também é a inversa, mas essa é uma propriedade especial, não uma regra válida para todas as matrizes.
Uma verificação prática é escrever as dimensões antes e depois da operação e escolher dois elementos fora da diagonal para conferir os índices trocados. Não confunda transpor com rodar a matriz 90 graus: uma rotação também inverteria a ordem de alguns elementos, enquanto a transposição apenas os reflete na diagonal principal.
