La transposée d'une matrice s'obtient en transformant chaque ligne en colonne, sans modifier les valeurs. Cette réorganisation rend certaines multiplications compatibles, change l'orientation d'un tableau de données et intervient dans les transformations linéaires. On la note généralement (A^T), lu « A transposée ».
De la position en ligne à la position en colonne
Si (A) comporte (m) lignes et (n) colonnes, (A^T) comporte (n) lignes et (m) colonnes. L'élément placé ligne (i), colonne (j), passe ligne (j), colonne (i). Les nombres ne sont ni triés ni recalculés : seule leur adresse change.
Une matrice 2 par 3 devient donc une matrice 3 par 2. À la main, lisez successivement les lignes d'origine et écrivez-les verticalement. Modifiez un élément ci-dessous pour suivre son déplacement.
Transposez une matrice 2 × 3
Chaque ligne d'origine devient une colonne de la transposée.
Les propriétés qui imposent le bon ordre
Transposer deux fois restitue la matrice initiale. Une somme se transpose terme à terme et un scalaire traverse l'opération. Pour un produit, l'ordre s'inverse : ((AB)^T=B^T A^T).
Les dimensions permettent de vérifier. Si (A) est 2 par 3 et (B) 3 par 4, (AB) est 2 par 4 et sa transposée 4 par 2. De l'autre côté, (B^T) est 4 par 3 et (A^T) 3 par 2 ; leur produit est bien 4 par 2.
Matrices symétriques et antisymétriques
Une matrice carrée est symétrique lorsqu'elle est égale à sa transposée : ses éléments se reflètent autour de la diagonale principale. Elle est antisymétrique si sa transposée est son opposée ; sur les réels, tous ses éléments diagonaux sont alors nuls.
Toute matrice carrée se décompose en une partie symétrique et une partie antisymétrique. Cette séparation est utile en géométrie, mécanique et optimisation. Une matrice rectangulaire a une transposée, mais ne peut pas être symétrique au sens habituel, car l'égalité exige le même format.
Exemple détaillé avec une matrice rectangulaire
Prenons les lignes (2,−1,4) et (0,3,5). La première devient la première colonne et la seconde devient la deuxième colonne. Le résultat possède trois lignes et deux colonnes.
Vérifiez les indices : 4 passe de (1,3) à (3,1), tandis que 3 reste en (2,2) sur la diagonale. Une deuxième transposition redonne le tableau initial. Retrouvez les opérations associées dans le guide des matrices.
Usages dans les données et les transformations
Dans un tableau, les lignes peuvent représenter des observations et les colonnes des variables ; transposer échange ces rôles. Pour les produits scalaires et les moindres carrés, un vecteur-colonne devient vecteur-ligne. Dans une matrice orthogonale réelle, la transposée est aussi l'inverse, mais cette propriété ne vaut pas pour toute matrice.
Pour contrôler, notez le format avant et après puis vérifiez deux éléments hors diagonale avec leurs indices inversés. Transposer ne signifie pas tourner le tableau de 90 degrés : une rotation renverse aussi l'ordre de certains éléments, tandis que la transposition reflète seulement les positions par rapport à la diagonale principale. Cette différence est essentielle en programmation, où deux tableaux visuellement proches peuvent porter des significations incompatibles.
