En transponeret matrix dannes ved at gøre hver række til en søjle uden at ændre elementernes værdier. Omordningen får dimensioner til at passe i bestemte produkter, vender en datatabel og bruges i lineære afbildninger. Den skrives normalt (A^T), læst “A transponeret”.
Fra rækkeplacering til søjleplacering
Har (A) (m) rækker og (n) søjler, har (A^T) (n) rækker og (m) søjler. Elementet i række (i), søjle (j), flyttes til række (j), søjle (i). Tallene sorteres eller beregnes ikke på ny; kun placeringen ændres.
En 2 gange 3-matrix bliver derfor 3 gange 2. I hånden kan du læse de oprindelige rækker og skrive dem lodret. Skift et element nedenfor og følg dets nye plads.
Transponér en 2 × 3-matrix
Hver oprindelig række bliver en søjle i den transponerede matrix.
Regneregler der sikrer den rette rækkefølge
To transponeringer giver startmatricen tilbage. En sum kan transponeres led for led, og en skalar bevares. Ved et produkt vendes rækkefølgen: ((AB)^T=B^T A^T).
Dimensionerne forklarer reglen. Hvis (A) er 2 gange 3 og (B) 3 gange 4, er (AB) 2 gange 4 og den transponerede 4 gange 2. Til højre er (B^T) 4 gange 3 og (A^T) 3 gange 2, så produktet er også 4 gange 2.
Symmetriske og skævsymmetriske matricer
En kvadratisk matrix er symmetrisk, når den er lig sin transponerede; elementerne spejles i hoveddiagonalen. Den er skævsymmetrisk, når (A^T=-A). Over de reelle tal skal alle diagonalelementer da være nul.
Enhver kvadratisk matrix kan deles i en symmetrisk og en skævsymmetrisk del. Det bruges i geometri, mekanik og optimering. En rektangulær matrix har en transponeret, men kan ikke være symmetrisk i almindelig forstand, fordi lighed kræver samme orden.
Gennemregnet rektangulært eksempel
Tag rækkerne (2,−1,4) og (0,3,5). Den første bliver første søjle og den anden anden søjle. Resultatet har tre rækker og to søjler.
Kontrollér indeksene: 4 går fra (1,3) til (3,1), mens 3 bliver på (2,2) i diagonalen. En ny transponering genskaber udgangspunktet. Se matricer og regneoperationer for sammenhængen.
Brug i data og transformationer
I en tabel kan rækker være observationer og søjler variabler; transponering bytter rollerne. I skalarprodukter og mindste kvadraters metode bliver en søjlevektor til en rækkevektor. For en reel ortogonal matrix er den transponerede også inversen, men det er en særlig egenskab.
Som kontrol bør du skrive ordenen før og efter og følge mindst to elementer uden for hoveddiagonalen ved hjælp af de ombyttede indeks. Transponering er ikke en drejning på 90 grader: en drejning vender også rækkefølgen af nogle elementer, mens transponering kun spejler placeringerne i hoveddiagonalen. Test gerne en rektangulær matrix i et program. En forkert rutine kan på en kvadratisk matrix tilfældigt bevare samme størrelse og derfor se troværdig ud. To transponeringer skal desuden føre hvert element præcist tilbage til udgangspunktet.
