Macierz transponowana powstaje przez zamianę każdego wiersza w kolumnę bez zmiany wartości elementów. Ta prosta reorganizacja dopasowuje wymiary w mnożeniu, odwraca układ tabeli danych i pojawia się w przekształceniach liniowych. Najczęściej zapisuje się ją jako (A^T).
Z pozycji w wierszu na pozycję w kolumnie
Jeżeli (A) ma (m) wierszy i (n) kolumn, to (A^T) ma (n) wierszy i (m) kolumn. Element z wiersza (i) i kolumny (j) trafia do wiersza (j) i kolumny (i). Liczby nie są sortowane ani przeliczane; zmienia się tylko ich położenie.
Macierz 2 na 3 staje się więc macierzą 3 na 2. Ręcznie można odczytywać kolejne wiersze i zapisywać je pionowo. Zmień dowolny element poniżej i zobacz, dokąd przechodzi.
Transponuj macierz 2 × 3
Każdy wiersz macierzy wyjściowej staje się kolumną transpozycji.
Własności pilnujące kolejności działań
Dwukrotne transponowanie przywraca macierz początkową. Sumę można transponować składnikami, a mnożnik skalarny pozostaje bez zmian. W iloczynie kolejność się odwraca: ((AB)^T=B^T A^T).
Wymiary wyjaśniają tę regułę. Gdy (A) ma rozmiar 2 na 3, a (B) 3 na 4, iloczyn (AB) ma 2 na 4, więc transpozycja 4 na 2. Z drugiej strony (B^T) ma 4 na 3, a (A^T) 3 na 2, zatem wynik również ma 4 na 2.
Macierze symetryczne i antysymetryczne
Macierz kwadratowa jest symetryczna, gdy jest równa swojej transpozycji; elementy odbijają się względem przekątnej głównej. Jest antysymetryczna, gdy (A^T=-A). Wtedy nad liczbami rzeczywistymi wszystkie elementy przekątnej muszą być zerami.
Każdą macierz kwadratową można rozłożyć na część symetryczną i antysymetryczną. Rozkład wykorzystuje się w geometrii, mechanice i optymalizacji. Macierz prostokątna ma transpozycję, lecz nie jest symetryczna w zwykłym sensie, bo równość wymaga tego samego rozmiaru.
Przykład z macierzą prostokątną
Weź wiersze (2,−1,4) oraz (0,3,5). Pierwszy tworzy pierwszą kolumnę transpozycji, a drugi drugą. Wynik ma trzy wiersze i dwie kolumny.
Sprawdź indeksy: 4 przechodzi z (1,3) do (3,1), natomiast 3 pozostaje w (2,2) na przekątnej. Ponowne transponowanie odtwarza macierz. Szerszy kontekst znajdziesz w artykule o macierzach i działaniach.
Zastosowania w danych i przekształceniach
W tabeli wiersze mogą oznaczać obserwacje, a kolumny cechy; transpozycja zamienia te role. W iloczynach skalarnych i metodzie najmniejszych kwadratów wektor kolumnowy staje się wierszowym. Dla rzeczywistej macierzy ortogonalnej transpozycja jest również odwrotnością, lecz nie jest to reguła ogólna.
Kontrola powinna obejmować rozmiar przed i po operacji oraz co najmniej dwa elementy poza przekątną. Ich indeksy muszą zamienić się miejscami. Transponowanie nie jest obrotem tablicy o 90 stopni: obrót odwraca także kolejność części elementów, a transpozycja jedynie odbija pozycje względem przekątnej głównej. W programie warto sprawdzić przypadek prostokątny, ponieważ przy macierzy kwadratowej błędna implementacja może przypadkiem zachować ten sam rozmiar i pozostać niezauważona. Dobrą próbą jest też dwukrotne transponowanie i porównanie wszystkich elementów z wejściem.
