Macierz to prostokątny układ liczb, symboli lub funkcji zapisanych w wierszach i kolumnach. Może przechowywać dane, kodować układ równań, opisywać przekształcenie geometryczne albo sieć połączeń. Położenie elementu jest częścią jego znaczenia.
Rozmiar, elementy i nakładające się typy
Rozmiar (m×n) podaje najpierw liczbę wierszy, potem kolumn. Dwie macierze są równe tylko przy tym samym rozmiarze i równych elementach odpowiadających. Macierze wierszowe, kolumnowe i kwadratowe różnią się kształtem.
Obserwuj działanie macierzy 2 × 2 na płaszczyźnie
Zmieniaj elementy, aby śledzić obrazy wektorów bazowych i zmianę pola.
Macierz diagonalna ma zera poza przekątną główną. W macierzy skalarnej elementy diagonalne są równe, a macierz jednostkowa ma tam jedynki. Macierz zerowa i macierze trójkątne to kolejne ważne przypadki.
Kategorie mogą się nakładać. Macierz jednostkowa jest kwadratowa, diagonalna, skalarna i trójkątna. Jest także symetryczna, bo jest równa swojej transpozycji.
Dodawanie i mnożenie przez skalar element po elemencie
Dodawać lub odejmować można tylko macierze tego samego rozmiaru, łącząc odpowiadające pozycje. Mnożenie przez skalar mnoży każdy element i nie zmienia rozmiaru.
Taka sama liczba wszystkich elementów nie wystarcza. Macierz 2 na 3 i 3 na 2 mają po sześć liczb, ale inne kształty, więc ich suma nie jest określona.
W iloczynie wiersze spotykają kolumny
(AB) istnieje, gdy liczba kolumn (A) równa się liczbie wierszy (B). Każdy element wyniku jest iloczynem skalarnym jednego wiersza (A) i jednej kolumny (B). Rozmiary (m×n) oraz (n×p) dają (m×p).
Przykład pokazuje, dlaczego mnożenie zwykle nie jest przemienne. Nawet gdy (AB) i (BA) istnieją, mogą się różnić. W złożeniu (ABx) najpierw działa (B), a potem (A).
Wyznacznik rozpoznaje macierze osobliwe
Tylko macierze kwadratowe mają wyznacznik. Wartość niezerowa oznacza niezależne kolumny i istnienie odwrotności; zero wskazuje utratę wymiaru. Metody obliczeń omawia wyznacznik macierzy.
Bezpieczna kolejność pracy
Najpierw zapisz wymiary. Dla sum sprawdź równe kształty, a dla iloczynu wymiary wewnętrzne. Przewidź rozmiar wyniku i obliczaj po jednej parze wiersz–kolumna. Na końcu użyj macierzy jednostkowej jako kontroli; proponowana odwrotność musi dać ją z obu stron.
Przy danych pomiarowych zbyt wczesne zaokrąglanie może zniekształcić wynik. Zachowaj dodatkowe cyfry w etapach pośrednich i zaokrąglij dopiero odpowiedź do dokładności uzasadnionej danymi.
Przed działaniem określ znaczenie wierszy i kolumn. W macierzy kosztów wiersze mogą oznaczać produkty, a kolumny miesiące. Zamiana tej konwencji bez dostosowania wektorów może dać iloczyn o zgodnych wymiarach, ale odpowiadający na inne pytanie. Jednostki też są częścią modelu: liczby sztuk, ceny i czas nie stają się zgodne tylko dlatego, że kształty tablic pozwalają na mnożenie. Opis wyniku powinien wskazać, co reprezentuje każdy wiersz i kolumna, a nie tylko podać blok liczb. Wtedy można wykryć błąd interpretacji niezależnie od rachunków.
W modelu danych zapisz też kolejność wykonywania przekształceń. Iloczyn (AB) oznacza, że na wektor najpierw działa (B), a potem (A). Zamiana kolejności może więc opisywać inny proces, nawet gdy oba iloczyny mają ten sam rozmiar.
