Una matriz es una disposición rectangular de números, símbolos o funciones en filas y columnas. Puede almacenar datos, codificar un sistema de ecuaciones, representar una transformación geométrica o describir conexiones. La posición de cada elemento aporta información y determina qué operaciones son compatibles.
Orden, entradas y tipos que pueden coincidir
El orden (m×n) indica primero las filas y después las columnas. Dos matrices son iguales solo si tienen el mismo orden y todas sus entradas correspondientes son iguales. Una matriz fila tiene una fila, una matriz columna tiene una columna y una matriz cuadrada tiene igual número de ambas.
Observa una matriz 2 × 2 sobre el plano
Cambia las entradas para ver la imagen de los vectores base y la variación del área.
Una matriz diagonal tiene ceros fuera de la diagonal principal. Una matriz escalar tiene entradas diagonales iguales, y la matriz identidad es la escalar con unos en esa diagonal. La matriz nula contiene solo ceros y una triangular tiene ceros por encima o por debajo de la diagonal.
Las categorías se solapan: la identidad es cuadrada, diagonal, escalar y triangular. Una matriz puede ser además simétrica si coincide con su transpuesta.
Suma y multiplicación por un número
Solo se suman o restan matrices del mismo orden. Se combinan las entradas que ocupan la misma posición. Multiplicar por un escalar significa multiplicar cada entrada y conservar el tamaño.
No basta con tener el mismo número total de elementos. Una matriz 2 por 3 y otra 3 por 2 contienen seis números, pero sus posiciones no forman la misma estructura y la suma no está definida.
El producto matricial enlaza filas con columnas
(AB) existe cuando las columnas de (A) son tantas como las filas de (B). Cada entrada del resultado es el producto escalar de una fila de (A) con una columna de (B). Si los órdenes son (m×n) y (n×p), el resultado es (m×p).
El ejemplo explica por qué el producto no suele ser conmutativo. Aunque existan (AB) y (BA), sus valores pueden ser distintos. En una composición de transformaciones, (ABx) también indica que (B) actúa antes que (A).
El determinante detecta pérdida de dimensión
Solo las matrices cuadradas tienen determinante. Un valor no nulo implica columnas linealmente independientes y una inversa. Un valor cero identifica una matriz singular. Consulta determinantes de matrices para ver Sarrus y Laplace.
Una rutina de cálculo que reduce errores
Anota las dimensiones antes de operar. Comprueba igualdad de formas para la suma y las dimensiones internas para el producto. Predice el tamaño del resultado y calcula cada par fila-columna. Al final, verifica el orden y usa la identidad como prueba; una inversa candidata debe producir la identidad a ambos lados.
Con datos medidos, redondear cada producto demasiado pronto puede deformar la respuesta. Conserva cifras adicionales en los pasos intermedios y redondea el resultado final según la precisión de las entradas.
Antes de operar, asigna un significado a filas y columnas. En una tabla de costes, por ejemplo, las filas pueden representar productos y las columnas meses. Cambiar esa convención sin adaptar los vectores puede producir una multiplicación de dimensiones válidas pero interpretación falsa. La compatibilidad algebraica es necesaria, aunque no sustituye la definición de las entidades.
