Determinanten tilldelar en kvadratisk matris ett tal. Talet beskriver avbildningens area- eller volymskala och avgör om en invers finns. Determinant noll betyder att en dimension kollapsar: rader eller kolumner är linjärt beroende och ekvationssystemet saknar entydig lösning.
2 × 2-formeln som orienterad area
För en 2 gånger 2-matris multiplicerar du huvuddiagonalen och subtraherar produkten längs den andra diagonalen. Absolutbeloppet är areafaktorn; ett negativt tecken visar dessutom att orienteringen vänds.
Kolonnvektorerna spänner upp en parallellogram. Ändra elementen och jämför dess area med determinanten. När vektorerna ligger på samma linje blir båda noll.
Utforska en 2 × 2-determinant
Parallellogrammens area är determinantens absolutbelopp.
Sarrus regel gäller bara 3 × 3
Vid Sarrus kopieras de två första kolumnerna till höger. Produkterna längs tre nedåtgående diagonaler adderas och de tre uppåtgående subtraheras. Mönstret hjälper att minnas sex termer, men är ingen generell metod.
Att utvidga mönstret till 4 gånger 4 ger fel svar. För större matriser används radreduktion, kofaktorer eller numerisk faktorisering. Även vid 3 gånger 3 bör positiva och negativa grupper skrivas var för sig.
Minorer och kofaktorer i Laplaceutvecklingen
Ta bort rad (i) och kolumn (j) för att få minorn till (a_{ij}). Kofaktorn lägger till det växlande teckenmönstret som börjar med plus uppe till vänster. Multiplicera elementen i vald rad eller kolumn med deras kofaktorer och summera.
Varje rad eller kolumn ger samma värde. Välj en med många nollor för mindre arbete. Metoden gäller alla kvadratiska ordningar men blir dyr för stora täta matriser.
Fullständigt exempel av tredje ordningen
Betrakta raderna (1,2,3), (0,4,5) och (1,0,6). Utveckling längs andra raden tar bort en term tack vare den första nollan. De två återstående kofaktorerna bekräftar Sarrus.
Determinanten är 22, så matrisen är inverterbar. Ett radbyte skulle ge −22. Multiplikation av en rad med 3 tredubblar värdet; att lägga en multipel av en rad till en annan ändrar det inte.
Snabba kontroller och tolkningsgränser
För en triangulär matris räcker produkten av huvuddiagonalen. Lika eller proportionella rader tvingar fram noll. Transponering bevarar determinanten och produktens determinant är produkten av determinanterna.
Bara kvadratiska matriser har determinant. Storleken beror på skala och enheter, så ett litet värde skilt från noll bevisar inte ensamt numerisk instabilitet. Läs matrisöversikten och inversa matriser.
Vid elementära radoperationer ska varje effekt bokföras. Ett radbyte ändrar tecknet, multiplikation av en rad med (k) multiplicerar determinanten med (k), och addition av en radmultipel till en annan rad lämnar värdet oförändrat. Därför kan matrisen reduceras till triangulär form och diagonalen multipliceras. De registrerade tecknen och faktorerna måste sedan återföras. Utan den kontrollen kan elimineringen vara korrekt medan slutsvaret blir fel. Utveckling längs en annan rad är en bra oberoende kontroll för ett litet exempel.
