Determinanten knytter ett tall til en kvadratisk matrise. Tallet beskriver areal- eller volumfaktoren i avbildningen og avgjør om en invers finnes. Determinant null betyr at en dimensjon kollapser: rader eller kolonner er lineært avhengige, og ligningssystemet har ingen entydig løsning.
2 × 2-formelen som orientert areal
For en 2 ganger 2-matrise multipliseres hoveddiagonalen, og produktet av den andre diagonalen trekkes fra. Absoluttverdien er arealfaktoren; negativt fortegn viser også at orienteringen vendes.
Kolonnevektorene spenner ut et parallellogram. Endre de fire elementene og sammenlign arealet med determinanten. Når vektorene ligger på samme linje, blir begge null.
Utforsk en 2 × 2-determinant
Parallellogrammets areal er determinantens absoluttverdi.
Sarrus' regel gjelder bare 3 × 3
Ved Sarrus kopieres de to første kolonnene til høyre. Produktene langs tre nedadgående diagonaler legges sammen, og de tre oppadgående trekkes fra. Mønsteret husker seks ledd, men er ikke en generell metode.
Å utvide tegningen til 4 ganger 4 gir feil svar. For større matriser brukes radoperasjoner, kofaktorer eller numerisk faktorisering. Selv ved 3 ganger 3 bør positive og negative grupper skrives hver for seg.
Minorer og kofaktorer i Laplace-utviklingen
Fjern rad (i) og kolonne (j) for å få minioren til (a_{ij}). Kofaktoren legger til det vekslende fortegnsmønsteret som begynner med pluss øverst til venstre. Multipliser elementene i valgt rad eller kolonne med kofaktorene og summer.
Hver rad eller kolonne gir samme verdi. Velg en med mange nuller for mindre arbeid. Metoden gjelder enhver kvadratisk orden, men blir kostbar for store tette matriser.
Fullt eksempel av tredje orden
Se på radene (1,2,3), (0,4,5) og (1,0,6). Utvikling langs andre rad fjerner ett ledd på grunn av første null. De to gjenværende kofaktorene bekrefter Sarrus.
Determinanten er 22, så matrisen er invertibel. Et bytte av to rader ville gi −22. Multipliseres en rad med 3, tredobles verdien; legges et multiplum av en rad til en annen, endres den ikke.
Raske kontroller og tolkningsgrenser
For en trekantmatrise er produktet av hoveddiagonalen nok. Like eller proporsjonale rader tvinger null. Transponering bevarer determinanten, og et produkts determinant er produktet av determinantene.
Bare kvadratiske matriser har determinant. Størrelsen avhenger av skala og enheter, så en liten ikke-nullverdi beviser ikke alene numerisk ustabilitet. Les om matriser og om inverse matriser.
Ved elementære radoperasjoner må hver virkning registreres. Et radbytte endrer fortegnet, multiplikasjon av en rad med (k) multipliserer determinanten med (k), og addisjon av et radmultiplum til en annen rad endrer ikke verdien. Dermed kan matrisen reduseres til trekantform og diagonalen multipliseres. De noterte fortegnene og faktorene føres inn til slutt. Uten denne oversikten kan eliminasjonen være riktig mens sluttsvaret blir feil. En utvikling langs en annen rad gir en nyttig uavhengig kontroll i et lite eksempel.
