De determinant koppelt één getal aan een vierkante matrix. Het getal beschrijft de oppervlakte- of volumefactor van de transformatie en bepaalt of een inverse bestaat. Bij determinant nul stort een dimensie in: rijen of kolommen zijn lineair afhankelijk en het bijbehorende stelsel heeft geen unieke oplossing.
De 2 × 2-formule als georiënteerde oppervlakte
Vermenigvuldig voor een 2-bij-2-matrix de hoofddiagonaal en trek het product van de andere diagonaal af. De absolute waarde is de oppervlaktefactor; een negatief teken geeft ook een omkering van oriëntatie aan.
De kolomvectoren vormen in de figuur een parallellogram. Verander de vier elementen en vergelijk de oppervlakte met de determinant. Liggen de vectoren op één lijn, dan zijn beide nul.
Onderzoek een determinant van 2 × 2
De oppervlakte van het parallellogram is de absolute waarde van de determinant.
De regel van Sarrus geldt alleen voor 3 × 3
Bij Sarrus worden de eerste twee kolommen rechts herhaald. Tel de producten van drie neerwaartse diagonalen op en trek de drie opwaartse producten af. Het schema onthoudt zes termen en is geen algoritme voor elke orde.
Hetzelfde patroon uitbreiden naar 4 bij 4 geeft een fout antwoord. Gebruik voor grotere matrices rijreductie, cofactoren of numerieke factorisatie. Schrijf ook bij 3 bij 3 positieve en negatieve groepen apart om tekens te bewaken.
Minoren en cofactoren in de Laplace-expansie
Schrap rij (i) en kolom (j) om de minor van (a_{ij}) te krijgen. De cofactor voegt het afwisselende tekenpatroon toe, beginnend met plus linksboven. Vermenigvuldig de elementen van één gekozen rij of kolom met hun cofactor en tel op.
Iedere rij of kolom levert dezelfde uitkomst. Kies er een met veel nullen om werk te besparen. De methode is algemeen, maar wordt bij grote volle matrices snel inefficiënt.
Volledig voorbeeld van orde drie
Beschouw de rijen (1,2,3), (0,4,5) en (1,0,6). Ontwikkelen langs de tweede rij laat door de eerste nul één term verdwijnen. De twee resterende cofactoren bevestigen Sarrus.
De determinant is 22, dus de matrix is inverteerbaar. Twee rijen omwisselen zou −22 geven. Een rij met 3 vermenigvuldigen verdrievoudigt de determinant; een veelvoud van een rij bij een andere optellen verandert hem niet.
Snelle controles en grenzen
Voor een driehoeksmatrix is het product van de hoofddiagonaal genoeg. Gelijke of evenredige rijen dwingen nul af. Transponeren behoudt de determinant en de determinant van een product is het product van de determinanten.
Alleen vierkante matrices hebben een determinant. De grootte hangt van schaal en eenheden af, zodat een kleine niet-nulwaarde op zichzelf geen numerieke instabiliteit bewijst. Lees verder bij matrices en inverse matrices.
Houd bij elementaire rijbewerkingen ieder effect apart bij. Twee rijen omwisselen verandert het teken, een rij met (k) vermenigvuldigen vermenigvuldigt de determinant met (k), en een veelvoud van een rij bij een andere optellen verandert de waarde niet. Zo kun je naar driehoeksvorm reduceren en de diagonaal vermenigvuldigen. Pas daarna de genoteerde tekens en factoren toe. Zonder die administratie kan de eliminatie volledig correct zijn terwijl de uiteindelijke determinant toch fout is. Een tweede ontwikkeling langs een andere rij geeft een nuttige onafhankelijke controle.
