Le déterminant associe un nombre à une matrice carrée. Il mesure le facteur d'aire ou de volume d'une transformation et indique si la matrice est inversible. Un déterminant nul signifie qu'une dimension s'effondre : lignes ou colonnes sont dépendantes et le système associé n'a pas de solution unique.
La formule 2 × 2 mesure aussi une aire orientée
Pour une matrice 2 par 2, multipliez les éléments de la diagonale principale et retranchez le produit de l'autre diagonale. La valeur absolue donne le facteur d'aire ; le signe négatif signale un renversement d'orientation.
Les vecteurs-colonnes dessinent un parallélogramme. Faites varier les quatre éléments : son aire suit la valeur absolue du déterminant. Quand les vecteurs sont alignés, les deux deviennent nuls.
Explorez un déterminant 2 × 2
L'aire du parallélogramme égale la valeur absolue du déterminant.
La règle de Sarrus ne dépasse pas l'ordre 3
Pour une matrice 3 par 3, recopiez les deux premières colonnes à droite. Additionnez les trois produits diagonaux descendants, puis retranchez les trois produits ascendants. Ce dessin mémorise six termes ; ce n'est pas une méthode générale.
Prolonger ce schéma à une matrice 4 par 4 donne un résultat faux. Pour les ordres supérieurs, utilisez réduction par lignes, cofacteurs ou factorisation numérique. Même à l'ordre 3, séparez les groupes positifs et négatifs pour maîtriser les signes.
Mineurs et cofacteurs dans le développement de Laplace
Supprimer la ligne (i) et la colonne (j) produit le mineur lié à (a_{ij}). Le cofacteur ajoute l'alternance de signes commençant par plus en haut à gauche. On multiplie les éléments d'une ligne ou colonne choisie par leurs cofacteurs, puis on additionne.
Toute ligne ou colonne fournit la même valeur. Choisissez-en une riche en zéros pour raccourcir le calcul. La méthode fonctionne à tout ordre carré, mais devient coûteuse sur une grande matrice dense.
Calcul complet d'ordre 3
Considérez les lignes (1,2,3), (0,4,5) et (1,0,6). Le développement suivant la deuxième ligne évite un terme, car son premier élément est nul. Les deux cofacteurs restants confirment Sarrus.
Le déterminant vaut 22, donc la matrice est inversible. Échanger deux lignes donnerait −22. Multiplier une ligne par 3 triple le déterminant ; ajouter à une ligne un multiple d'une autre le conserve.
Contrôles rapides et limites d'interprétation
Pour une matrice triangulaire, multipliez simplement la diagonale principale. Des lignes identiques ou proportionnelles imposent zéro. La transposition ne change pas le déterminant, et celui d'un produit est le produit des déterminants.
Seules les matrices carrées ont un déterminant. Sa taille dépend aussi de l'échelle et des unités ; une petite valeur non nulle ne prouve pas à elle seule une instabilité numérique. Consultez les opérations matricielles et les matrices inverses.
Avec des opérations élémentaires, consignez chaque effet. Échanger deux lignes change le signe ; multiplier une ligne par (k) multiplie le déterminant par (k) ; ajouter à une ligne un multiple d'une autre ne le change pas. On peut ainsi obtenir une matrice triangulaire puis multiplier sa diagonale. Les signes et facteurs enregistrés doivent être réintégrés à la fin, faute de quoi une réduction correcte produit une valeur finale fausse.
