Ränta på ränta: formel, beräkning och tillväxt

Ränta på ränta innebär att varje periods ränta läggs till saldot innan nästa period börjar. Nästa räntebelopp beräknas därför på det ursprungliga kapitalet tillsammans med tidigare upplupen ränta. Med en fast räntesats per period och utan insättningar eller uttag ger den upprepade multiplikationen exponentiell tillväxt i stället för lika stora beloppsökningar.

Kapital, räntesats, perioder, slutbelopp och ränta

Låt $C$ vara startkapitalet, $i$ den effektiva räntesatsen per ränteperiod och $n$ antalet perioder. Slutbeloppet $M$ är saldot efter dessa perioder. Den intjänade eller debiterade räntan är $J=M-C$. En räntesats i procent måste skrivas som decimaltal i formeln, så 6 % blir 0,06.

Räntesatsen och antalet perioder måste använda samma tidsenhet. Vid månatlig kapitalisering använder du en månadsränta och ett antal månader. En nominell årsränta dividerad med 12 är inte samma sak som en effektiv årsränta omräknad till en likvärdig månadsränta. Avtalet eller uppgiften måste ange vilken konvention som gäller.

Exempel: 1 000 med 6 % ränta i tre år

Anta att 6 % är en effektiv årsränta och att räntan läggs till en gång per år. Multiplicera saldot med 1,06 tre gånger. Slutbeloppet före avrundning är 1 191,016. Avrundat till ören blir saldot 1 191,02 och den sammansatta räntan 191,02.

Avrundning först i slutet bevarar den avsedda matematiska modellen. Om ett institut avrundar efter varje period kan kontoutdraget skilja sig med några ören. Avgifter, skatter, varierande räntesatser och dagberäkningsmetoder kan ge betydligt större skillnader och måste hanteras enligt sina egna villkor.

Jämför enkel ränta och ränta på ränta

Ändra värdena för att se den enkla räntans lika stora ökningar och de växande ökningarna vid ränta på ränta.

StartkapitalRäntesats per årÅr

Därför ger samma procentsats större ökningar senare

I exemplet är räntan det första året 60. Det andra året börjar med 1 060, så räntan blir 63,60. Det tredje året börjar med 1 123,60 och lägger till 67,416. Procentsatsen är fortfarande 6 %, men underlaget som den tillämpas på växer. Med enkel ränta skulle 60 läggas till varje år och ge 1 180 efter tre år.

Skillnaden är liten under korta perioder och växer under långa. Det betyder inte att varje investeringsprognos är tillförlitlig. Konstant avkastning är ett matematiskt antagande, inte ett löfte om utvecklingen på marknaden. Vid lån omfattar formeln inte heller amorteringar, om inte betalningsflödet uttryckligen ingår i modellen.

Tätare kapitalisering kräver en angiven årsräntekonvention

Om en nominell årsränta $j$ kapitaliseras $m$ gånger per år använder en vanlig läroboksmodell periodräntan $\frac{j}{m}$ och $mt$ perioder under $t$ år. Den motsvarande effektiva årsräntan är ${(1+\frac{j}{m})}^m-1$. Om den angivna räntan på 6 % redan är effektiv per år ska en likvärdig månadsränta bestämmas ur ${(1+i_m)}^{12}=\mathrm{1,06}$ i stället för genom division med 12.

Kontinuerlig kapitalisering använder ett exponentiellt gränsvärde, men det är en egen konvention och ska inte antas bara för att det står ”ränta på ränta”. Ta alltid reda på när räntan bokförs.

Regelbundna betalningar ger ett kassaflödesproblem

Om samma belopp sätts in varje månad får du en annuitet i stället för en beräkning med ett enda startkapital. Varje insättning förräntas under olika många perioder. Betalningar i början respektive slutet av en period ger också olika resultat. En korrekt beräkning behöver betalningsbelopp, tidpunkt, periodränta och antal betalningar. Formeln för ett engångsbelopp ovan är fortfarande byggstenen för varje enskilt kassaflöde.