Beim Zinseszins werden die Zinsen jeder Periode dem Kontostand zugeschlagen, bevor die nächste Periode beginnt. Die nächste Zinsgutschrift oder Zinsbelastung wird deshalb auf das ursprüngliche Kapital zuzüglich der früheren Zinsen berechnet. Bei einem festen Zinssatz pro Periode und ohne Einzahlungen oder Abhebungen entsteht durch diese wiederholte Multiplikation exponentielles Wachstum und kein gleichmäßiger Geldzuwachs.
Anfangskapital, Zinssatz, Perioden, Endkapital und Zinsen
Sei das Anfangskapital, der effektive Zinssatz pro Zinsperiode und die Anzahl der Perioden. Das Endkapital ist der Kontostand nach diesen Perioden. Die gutgeschriebenen oder berechneten Zinsen sind . Ein Prozentsatz muss in der Formel als Dezimalzahl stehen. Aus 6 % wird also 0,06.
Zinssatz und Periodenzahl müssen dieselbe Zeiteinheit verwenden. Bei monatlicher Verzinsung braucht man einen monatlichen Zinssatz und eine Anzahl von Monaten. Ein nominaler Jahreszinssatz geteilt durch 12 ist nicht dasselbe wie ein effektiver Jahreszinssatz, der in einen äquivalenten Monatszinssatz umgerechnet wird. Im Vertrag oder in der Aufgabe muss stehen, welche Konvention gilt.
Rechenbeispiel: 1.000 bei 6 % für drei Jahre
Nehmen wir an, 6 % sei ein effektiver Jahreszinssatz und die Zinsen würden einmal jährlich gutgeschrieben. Multipliziere den Kontostand dreimal mit 1,06. Vor dem Runden beträgt das Endkapital 1.191,016. Auf Cent gerundet sind das 1.191,02, und der Zinsbetrag beläuft sich auf 191,02.
Erst am Ende zu runden erhält das beabsichtigte Modell. Rundet ein Institut nach jeder Periode, kann sein Kontoauszug um einige Cent abweichen. Gebühren, Steuern, veränderliche Zinssätze und Zinstagskonventionen können wesentlich größere Abweichungen verursachen und benötigen eigene Bedingungen.
Einfache und zusammengesetzte Verzinsung vergleichen
Ändere die Eingaben und vergleiche die gleichbleibenden Zuwächse der einfachen Verzinsung mit den wachsenden Zuwächsen beim Zinseszins.
Warum derselbe Prozentsatz später größere Zuwächse erzeugt
Im Beispiel betragen die Zinsen des ersten Jahres 60. Das zweite Jahr beginnt mit 1.060, daher entstehen 63,60 Zinsen. Das dritte Jahr beginnt mit 1.123,60 und bringt 67,416 hinzu. Der Prozentsatz bleibt bei 6 %, doch die Grundlage, auf die er angewendet wird, wächst. Im Gegensatz dazu würde eine einfache Verzinsung jedes Jahr 60 hinzufügen und nach drei Jahren 1.180 erreichen.
Der Abstand ist bei kurzen Laufzeiten klein und nimmt über längere Zeiträume zu. Daraus folgt nicht, dass jede Anlageprognose zuverlässig ist. Konstante Renditen bilden ein mathematisches Szenario und keine Zusage für Märkte. Bei Krediten berücksichtigt die Formel außerdem keine Rückzahlungen, sofern der Zahlungsstrom nicht ausdrücklich modelliert wird.
Häufigere Verzinsung braucht eine klare Jahreskonvention
Ist ein nominaler Jahreszinssatz in Zinsperioden pro Jahr umrechenbar, verwendet ein übliches Lehrbuchmodell den Periodenzinssatz , insgesamt Perioden über Jahre. Der zugehörige effektive Jahreszinssatz ist . Sind die genannten 6 % bereits effektiv pro Jahr, muss ein äquivalenter Monatszinssatz aus bestimmt werden, statt einfach durch 12 zu teilen.
Die stetige Verzinsung beruht auf einem Exponentialgrenzwert, ist aber eine eigene Konvention. Sie darf nicht allein aus dem Begriff "Zinseszins" abgeleitet werden. Es muss immer feststehen, wann Zinsen gutgeschrieben werden.
Regelmäßige Zahlungen machen die Aufgabe zu einem Zahlungsstrom
Wer jeden Monat denselben Betrag einzahlt, erzeugt eine Rente und keine Rechnung mit nur einem Anfangskapital. Jede Einzahlung wird über eine andere Anzahl von Perioden verzinst. Auch Zahlungen am Anfang und am Ende einer Periode führen zu unterschiedlichen Ergebnissen. Eine korrekte Rechnung braucht Zahlungsbetrag, Zeitpunkt, Periodenzinssatz und Anzahl der Zahlungen. Die Formel für eine einzelne Summe bleibt dabei der Baustein für jeden einzelnen Zahlungsstrom.
