Nos juros compostos, os juros de cada período são acrescentados ao saldo antes de começar o período seguinte. O próximo juro, cobrado ou creditado, é por isso calculado sobre o capital inicial e os juros anteriores. Com uma taxa fixa por período e sem depósitos nem levantamentos, esta multiplicação repetida produz crescimento exponencial, em vez de acréscimos iguais de dinheiro.
Capital, taxa, períodos, montante e juros
Seja o capital inicial, a taxa efetiva por período de capitalização e o número de períodos. O montante é o saldo depois desses períodos. O juro obtido ou cobrado é . Uma taxa percentual deve ser escrita em forma decimal na fórmula, logo 6% transforma-se em 0,06.
A taxa e o número de períodos têm de usar a mesma unidade. Numa capitalização mensal, use uma taxa mensal e um número de meses. Uma taxa nominal anual dividida por 12 não é igual a uma taxa anual efetiva convertida numa taxa mensal equivalente. O contrato ou o enunciado deve indicar qual das convenções se aplica.
Exemplo resolvido: 1 000 a 6% durante três anos
Admita que 6% é uma taxa anual efetiva e que os juros são acrescentados uma vez por ano. Multiplique o saldo por 1,06 três vezes. Antes do arredondamento, o montante é 1 191,016. Arredondado aos cêntimos, o saldo é 1 191,02 e o juro composto é 191,02.
Arredondar apenas no final preserva o modelo pretendido. Se uma instituição arredondar em cada período, o seu registo pode diferir alguns cêntimos. Comissões, impostos, taxas variáveis e convenções de contagem de dias podem criar uma diferença muito maior e exigem condições próprias.
Compare o crescimento simples e o composto
Altere os valores para observar incrementos iguais nos juros simples e incrementos crescentes na capitalização composta.
Porque é que a mesma percentagem produz aumentos posteriores maiores
No exemplo, o juro do primeiro ano é 60. O segundo ano começa com 1 060, pelo que o respetivo juro é 63,60. O terceiro começa com 1 123,60 e acrescenta 67,416. A percentagem mantém-se em 6%, mas a base à qual é aplicada aumenta. Em contrapartida, os juros simples acrescentariam 60 todos os anos e chegariam a 1 180 ao fim de três anos.
A diferença é pequena em períodos curtos e aumenta ao longo do tempo. Isso não torna qualquer previsão de investimento fiável. Rendimentos constantes são um cenário matemático, não uma promessa sobre os mercados. Num empréstimo, a fórmula também não contempla reembolsos, a menos que o calendário dos fluxos de caixa seja modelado explicitamente.
Uma capitalização mais frequente exige uma convenção anual definida
Se uma taxa nominal anual for convertível vezes por ano, um modelo didático comum usa a taxa periódica e períodos em anos. A taxa anual efetiva correspondente é . Se os 6% indicados já forem efetivos ao ano, determine uma taxa mensal equivalente a partir de , em vez de simplesmente dividir por 12.
A capitalização contínua usa um limite exponencial, mas constitui uma convenção diferente e não deve ser presumida apenas pela expressão "juros compostos". Identifique sempre o momento em que o juro é lançado.
Pagamentos regulares criam um problema de fluxos de caixa
Depositar todos os meses a mesma quantia produz uma renda financeira, e não um cálculo de capital único. Cada depósito capitaliza durante um número diferente de períodos. Os pagamentos no início e no fim de um período também dão resultados diferentes. Um cálculo correto precisa do valor e do momento do pagamento, da taxa periódica e do número de pagamentos. A fórmula de capital único acima continua a ser o elemento básico de cada fluxo.
