Logaritmos: propriedades, equações e mudança de base

Um logaritmo responde a uma pergunta sobre expoentes. A igualdade ${\log }_{b}x=y$ significa que elevar a base $b$ ao expoente $y$ produz $x$. Nos logaritmos reais, a base tem de ser positiva e diferente de um, e o argumento tem de ser positivo. Estas restrições pertencem à definição; não são verificações facultativas acrescentadas depois do cálculo.

Base, argumento e logaritmo desempenham papéis diferentes

Em ${\log }_{2}8=3$, 2 é a base, 8 é o argumento e 3 é o logaritmo. A igualdade é verdadeira porque $2^3=8$. Um logaritmo pode ser negativo: ${\log }_{10}\mathrm{0,01}=-2$. Contudo, no conjunto dos números reais, o argumento não pode ser zero nem negativo. O logaritmo de base dez é frequentemente chamado logaritmo decimal; o logaritmo de base $e$ é o logaritmo natural ou neperiano e escreve-se $\ln$.

A notação $\log$ sem base visível depende do contexto. Muitos manuais escolares assumem a base dez; em matemática avançada e em programas informáticos pode significar o logaritmo natural. Declare a convenção ou use explicitamente ${\log }_{10}$ e $\ln$ sempre que a ambiguidade seja relevante.

Compare uma exponencial e o respetivo logaritmo

Altere a base. As duas curvas são simétricas em relação à reta y = x porque as funções desfazem uma à outra.

BaseValor de x selecionado

As regras do produto, quociente e potência vêm das leis dos expoentes

Para argumentos positivos, o logaritmo de um produto é uma soma, o logaritmo de um quociente é uma diferença e um expoente pode passar para a frente como fator. Não existe uma propriedade análoga que separe o logaritmo de uma soma. Em geral, ${\log }_b(x+y)$ não é igual a ${\log }_{b}x+{\log }_{b}y$.

Estas identidades permitem condensar produtos ou desenvolvê-los para resolver equações. Comece pelo domínio. Por exemplo, desenvolver $\log (x-2)$ exige $x>2$; uma manipulação algébrica feita fora desse domínio não cria um logaritmo válido.

A mudança de base permite calcular qualquer base válida

Divida logaritmos escritos na mesma base conveniente: ${\log }_{b}x=\frac{\ln x}{\ln b}$. O denominador não é zero porque $b\ne 1$. Uma calculadora que tenha apenas $\ln$ e ${\log }_{10}$ consegue, assim, avaliar ${\log }_{2}7$. A base auxiliar cancela-se, desde que seja a mesma no numerador e no denominador.

Exemplo resolvido: soma de dois logaritmos

Resolva ${\log }_2(x-1)+{\log }_2(x-3)=3$. Os argumentos exigem primeiro $x>3$. Junte a soma num logaritmo de um produto, converta para a forma exponencial e resolva a equação quadrática obtida. A álgebra produz dois candidatos, mas só um pertence ao domínio original.

Os candidatos são 5 e menos 1. A substituição rejeita menos 1 porque ambos os argumentos logarítmicos seriam negativos. A única solução real é $x=5$, e a verificação dá ${\log }_{2}4+{\log }_{2}2=2+1=3$.

Os logaritmos desfazem o crescimento composto

Quando a incógnita aparece num expoente, um logaritmo pode isolá-la. Na equação de juros compostos $M=C{(1+i)}^n$, o número de períodos é $n=\frac{\log \left(\frac{M}{C}\right)}{\log (1+i)}$, desde que todas as grandezas necessárias sejam positivas e $i>-1$, com $i\ne 0$ para esta reorganização. Esta relação liga os logaritmos ao crescimento composto sem transformar o resultado matemático numa previsão.

Num gráfico, uma função exponencial e o seu logaritmo na mesma base são simétricos em relação a $y=x$. Para bases maiores do que um, ambas são crescentes; para bases entre zero e um, ambas são decrescentes. O logaritmo tem uma assíntota vertical em $x=0$, que marca a fronteira excluída do seu domínio.