Logaritmen: rekenregels, vergelijkingen en grondtalwisseling

Een logaritme beantwoordt een vraag naar een exponent. De uitspraak ${\log }_{b}x=y$ betekent dat het grondtal $b$, verheven tot exponent $y$, de waarde $x$ oplevert. Voor reële logaritmen moet het grondtal positief en ongelijk aan één zijn, en moet het argument positief zijn. Deze beperkingen horen bij de definitie. Het zijn geen vrijblijvende controles achteraf.

Grondtal, argument en logaritme hebben elk een eigen rol

In ${\log }_{2}8=3$ is 2 het grondtal, 8 het argument en 3 de logaritme. De gelijkheid klopt omdat $2^3=8$. Een logaritme kan negatief zijn: ${\log }_{10}\mathrm{0,01}=-2$. Hij kan geen nul of negatief reëel argument hebben. Grondtal tien heet vaak de gewone logaritme. Grondtal $e$ geeft de natuurlijke logaritme, geschreven als $\ln$.

De notatie $\log$ zonder zichtbaar grondtal hangt af van de context. Veel schoolboeken bedoelen grondtal tien; in hogere wiskunde en software kan de natuurlijke logaritme zijn bedoeld. Vermeld de afspraak of schrijf ${\log }_{10}$ en $\ln$ expliciet als onduidelijkheid mogelijk is.

Vergelijk een exponentiële functie en haar logaritme

Verander het grondtal. De twee grafieken zijn elkaars spiegelbeeld in de lijn y = x, omdat de functies elkaar ongedaan maken.

GrondtalGekozen x-waarde

Product-, quotiënt- en machtsregels volgen uit de machtswetten

Voor positieve argumenten wordt de logaritme van een product een som, de logaritme van een quotiënt een verschil, en kan een exponent als factor voor de logaritme worden gezet. Er is geen overeenkomstige regel die de logaritme van een som opsplitst. In het algemeen is ${\log }_b(x+y)$ niet gelijk aan ${\log }_{b}x+{\log }_{b}y$.

Met deze identiteiten kun je producten samenvoegen of ze voor het oplossen van een vergelijking uitwerken. Pas eerst het domein toe. Voor het uitwerken van $\log (x-2)$ is bijvoorbeeld $x>2$ vereist. Algebra buiten dat domein levert geen geldige logaritme op.

Grondtalwisseling maakt ieder geldig grondtal berekenbaar

Deel logaritmen met hetzelfde handige grondtal: ${\log }_{b}x=\frac{\ln x}{\ln b}$. De noemer is niet nul omdat $b\ne 1$. Een rekenmachine met alleen $\ln$ en ${\log }_{10}$ kan zo ook ${\log }_{2}7$ berekenen. Het gekozen hulpgrondtal valt weg zolang teller en noemer hetzelfde grondtal gebruiken.

Uitgewerkt voorbeeld: los een som van twee logaritmen op

Los ${\log }_2(x-1)+{\log }_2(x-3)=3$ op. De argumenten vereisen eerst $x>3$. Voeg de som samen tot de logaritme van een product, zet haar om naar exponentiële vorm en los de ontstane kwadratische vergelijking op. De algebra geeft twee kandidaten, maar slechts één ligt in het oorspronkelijke domein.

De kandidaten zijn 5 en min 1. Invullen verwerpt min 1, omdat beide logaritmische argumenten negatief zouden zijn. De enige reële oplossing is $x=5$, en de controle geeft ${\log }_{2}4+{\log }_{2}2=2+1=3$.

Logaritmen keren samengestelde groei om

Als de onbekende in een exponent staat, kan een logaritme haar isoleren. In de samengestelde-interestvergelijking $M=C{(1+i)}^n$ is het aantal perioden $n=\frac{\log \left(\frac{M}{C}\right)}{\log (1+i)}$, zolang alle vereiste grootheden positief zijn en voor deze omzetting $i>-1$ met $i\ne 0$ geldt. Dit verbindt logaritmen met samengestelde groei zonder van het wiskundige resultaat een voorspelling te maken.

In een grafiek zijn een exponentiële functie en haar logaritme met hetzelfde grondtal elkaars spiegelbeeld in $y=x$. Voor grondtallen groter dan één stijgen beide; voor grondtallen tussen nul en één dalen beide. De logaritme heeft een verticale asymptoot bij $x=0$, die de uitgesloten grens van het domein aangeeft.