Een ongelijkheid vergelijkt grootheden zonder te beweren dat ze gelijk zijn. De oplossing is meestal een verzameling waarden en niet één getal. Strikte tekens sluiten gelijkheid uit, terwijl niet-strikte tekens haar toelaten. Algebraïsche bewerkingen bepalen de grenspunten. Daarna geeft een getallenlijn, intervalnotatie of tekenschema aan aan welke kant van die grenzen de oorspronkelijke ongelijkheid klopt.
Lineaire ongelijkheden werken als vergelijkingen totdat een teken omkeert
Dezelfde hoeveelheid aan beide kanten optellen of aftrekken behoudt de volgorde. Vermenigvuldigen of delen door een positief getal doet dat ook. Een negatieve factor keert de volgorde om, omdat hij posities op de getallenlijn spiegelt. Zo is 2 kleiner dan 5, maar na vermenigvuldiging van beide getallen met min één is min 2 groter dan min 5.
Een open grenspunt hoort bij een strikte ongelijkheid zoals . Een gesloten grenspunt hoort bij een niet-strikte ongelijkheid zoals . Oneindig is nooit als eindpunt opgenomen, dus in intervalnotatie staat naast of altijd een ronde haak. Als twee voorwaarden allebei moeten gelden, neem je hun doorsnede. Als één van beide voldoende is, neem je hun vereniging.
Lineair voorbeeld: isoleer de variabele en controleer de grens
Los op. Trek 4 af en krijg . Delen door min 3 keert het ongelijkheidsteken om, zodat . De grenswaarde min 2 maakt beide kanten gelijk en hoort daarom niet bij de oplossing. Invullen van min 3 geeft links 13. Dat is groter dan 10 en bevestigt de gekozen kant.
Een kwadratische ongelijkheid is een vraag naar tekens
Breng alle termen naar één kant en bepaal de reële nulpunten van de resulterende kwadratische veelterm. Die nulpunten verdelen de getallenlijn in intervallen waarin een continue veelterm niet van teken kan veranderen zonder door nul te gaan. Ontbinden in factoren, de abc-formule of een grafiek kan de nulpunten leveren. Test daarna één waarde in elk interval of gebruik de richting waarin de parabool opent.
Voor ontbind je de veelterm als . De omhoog openende parabool ligt alleen tussen haar twee nulpunten onder de horizontale as. De oplossing is dus het open interval van 2 tot 3. Als de ongelijkheid kleiner dan of gelijk aan nul was, zouden beide nulpunten worden opgenomen.
Bekijk hoe een kwadratische functie van teken verandert
Verplaats de schuiven. De grafiek en het intervaloverzicht worden tegelijk bijgewerkt.
Noemers en vierkantswortels voegen domeingrenzen toe
Bij een gebroken ongelijkheid zijn waarden die een noemer nul maken uitgesloten, ook als een vereenvoudigde uitdrukking ze lijkt toe te laten. Nulpunten van teller en noemer horen beide in het tekenschema, maar alleen nulpunten van de teller mogen in een niet-strikte oplossing worden opgenomen. Vereis bij vierkantswortels eerst dat iedere radicand van een evenmachtswortel niet-negatief is. Kwadrateren kan oneigenlijke oplossingen invoeren, vooral als één kant negatief kan zijn. Vul kandidaten daarom terug in de oorspronkelijke uitspraak in.
Een grafiek controleert het interval maar vervangt de algebra niet
De grafiek van ligt op de oplossingsintervallen boven de horizontale as. Daardoor is een grafiek een nuttige controle, maar de schermresolutie kan een dubbel nulpunt of een zeer smal interval verbergen. Exacte nulpunten en domeinbeperkingen moeten de uiteindelijke notatie bepalen. Gebruik de interactieve weergave om inzicht op te bouwen en behoud de symbolische grenspunten in het antwoord.
