Una inecuación compara cantidades sin afirmar que sean iguales. Su solución suele ser un conjunto de valores, no un solo número. Los símbolos estrictos excluyen la igualdad; los inclusivos la admiten. La manipulación algebraica localiza la frontera. Después, una recta numérica, un intervalo o una tabla de signos indican a qué lado de esa frontera se cumple la comparación original.
Las inecuaciones lineales se comportan como ecuaciones hasta que cambia el signo
Sumar o restar la misma cantidad en ambos miembros conserva el orden. Multiplicar o dividir por un número positivo también lo conserva. Un factor negativo invierte el orden porque invierte las posiciones en la recta numérica. Por ejemplo, 2 es menor que 5, pero al multiplicar ambos por menos uno, menos 2 resulta mayor que menos 5.
Un extremo abierto representa una comparación estricta, como . Un extremo cerrado representa . El infinito nunca es un extremo incluido, por lo que la notación de intervalos siempre lleva un paréntesis junto a o . Cuando deben cumplirse dos condiciones a la vez, toma su intersección. Cuando basta con que se cumpla una de ellas, toma su unión.
Ejemplo lineal resuelto: aislar la variable y comprobar la frontera
Resuelve . Resta 4 para obtener . Al dividir entre menos 3, invierte la comparación y obtendrás . El valor frontera, menos 2, iguala ambos miembros, así que debe excluirse. Al probar menos 3, el miembro izquierdo vale 13, que es mayor que 10 y confirma el lado elegido.
Una inecuación cuadrática plantea una pregunta sobre signos
Lleva todos los términos a un mismo miembro y busca los ceros reales del polinomio cuadrático resultante. Esos ceros dividen la recta numérica en intervalos en los que un polinomio continuo no puede cambiar de signo sin pasar por cero. La factorización, la fórmula cuadrática o una gráfica permiten localizar las raíces. Después, prueba un valor de cada intervalo o utiliza la orientación de la parábola.
En , el polinomio se factoriza como . La parábola abre hacia arriba y solo está por debajo del eje horizontal entre sus dos raíces. La solución es, por tanto, el intervalo abierto de 2 a 3. Si la comparación fuera menor o igual que cero, ambas raíces estarían incluidas.
Observa cómo cambia de signo una cuadrática
Mueve los controles. La gráfica y el resumen de intervalos se actualizan a la vez.
Los denominadores y las raíces cuadradas añaden límites al dominio
En una inecuación racional, los valores que anulan un denominador quedan excluidos, aunque una expresión simplificada parezca admitirlos. Tanto los ceros del numerador como los del denominador se incluyen en la tabla de signos, pero solo los del numerador pueden pertenecer a una solución no estricta. Con raíces de índice par, exige primero que todos los radicandos sean no negativos. Elevar ambos miembros al cuadrado puede introducir soluciones extrañas, sobre todo si uno de ellos puede ser negativo, así que sustituye los candidatos en la expresión original.
La gráfica comprueba el intervalo sin sustituir al álgebra
La gráfica de queda por encima del eje horizontal en los intervalos solución. Esto la convierte en una comprobación útil, pero la resolución de la pantalla puede ocultar una raíz doble o un intervalo muy estrecho. Las raíces exactas y las restricciones del dominio deben determinar la notación final. Utiliza la vista interactiva para desarrollar intuición y conserva los extremos simbólicos en la respuesta.
