Uma inequação compara grandezas sem afirmar que são iguais. A sua solução costuma ser um conjunto de valores, e não um único número. Os símbolos estritos excluem a igualdade; os símbolos inclusivos admitem-na. A manipulação algébrica localiza a fronteira. Depois, uma reta real, uma notação de intervalo ou um quadro de sinais regista de que lado dessa fronteira a comparação original é verdadeira.
As inequações lineares comportam-se como equações até o sinal se inverter
Somar ou subtrair a mesma quantidade nos dois membros preserva a ordem. Multiplicar ou dividir por um número positivo também a preserva. Um fator negativo inverte a ordem porque troca as posições na reta real. Por exemplo, 2 é menor do que 5, mas, ao multiplicar ambos por menos um, menos 2 passa a ser maior do que menos 5.
Uma extremidade aberta representa uma comparação estrita, como . Uma extremidade fechada representa . O infinito nunca é uma extremidade incluída, por isso a notação de intervalo usa sempre um parêntese junto de ou . Quando duas condições têm de ser satisfeitas em simultâneo, tome a interseção. Quando basta cumprir uma delas, tome a união.
Exemplo linear resolvido: isolar a variável e verificar a fronteira
Resolva . Subtraia 4 para obter . Ao dividir por menos 3, inverta o sentido da comparação: . O valor de fronteira, menos 2, torna os dois membros iguais e deve ser excluído. Ao testar menos 3, o membro esquerdo vale 13, que é maior do que 10, confirmando o lado escolhido.
Uma inequação quadrática é um problema de sinais
Passe todos os termos para o mesmo membro e determine os zeros reais do polinómio quadrático obtido. Esses zeros dividem a reta real em intervalos nos quais um polinómio contínuo não pode mudar de sinal sem passar por zero. Pode encontrar os zeros por fatorização, pela fórmula resolvente ou através de um gráfico. Depois, teste um valor em cada intervalo ou use a orientação da parábola.
Em , o polinómio fatoriza-se como . A parábola tem a concavidade voltada para cima e fica abaixo do eixo horizontal apenas entre as duas raízes. A solução é, portanto, o intervalo aberto entre 2 e 3. Se a comparação fosse menor ou igual a zero, ambas as raízes seriam incluídas.
Observe como uma quadrática muda de sinal
Mova os seletores. O gráfico e o resumo dos intervalos são atualizados em conjunto.
Denominadores e raízes quadradas acrescentam restrições ao domínio
Numa inequação racional, os valores que anulam um denominador estão excluídos, mesmo que uma expressão simplificada pareça aceitá-los. Tanto os zeros do numerador como os do denominador entram no quadro de sinais, mas apenas os zeros do numerador podem ser incluídos numa solução não estrita. Com raízes de índice par, comece por exigir que cada radicando seja não negativo. Elevar ambos os membros ao quadrado pode introduzir soluções estranhas, sobretudo se um dos membros puder ser negativo; substitua sempre os candidatos na expressão original.
O gráfico confirma o intervalo, mas não substitui a álgebra
O gráfico de fica acima do eixo horizontal nos intervalos da solução. É uma verificação útil, embora a resolução do ecrã possa ocultar uma raiz dupla ou um intervalo muito estreito. As raízes exatas e as restrições de domínio devem determinar a notação final. Use a visualização interativa para desenvolver intuição, mas mantenha os extremos simbólicos na resposta.
