Una disequazione confronta due quantità senza affermare che siano uguali. La soluzione è di solito un insieme di valori, non un singolo numero. I segni di disuguaglianza stretta escludono l'uguaglianza, mentre quelli di disuguaglianza larga la includono. I passaggi algebrici individuano i punti di confine; una retta numerica, un intervallo o uno studio del segno indicano poi da quale lato la condizione iniziale è verificata.
Le disequazioni lineari e il cambio di verso
Aggiungere o sottrarre la stessa quantità ai due membri conserva l'ordine. Anche moltiplicare o dividere per un numero positivo lo conserva. Un fattore negativo inverte invece l'ordine, perché scambia la posizione dei numeri sulla retta. Per esempio, 2 è minore di 5, ma moltiplicando entrambi per meno uno si ottiene meno 2 maggiore di meno 5.
Un estremo aperto rappresenta un confronto stretto come ; un estremo chiuso rappresenta . L'infinito non è mai incluso, quindi accanto a o si usa sempre una parentesi tonda. Se due condizioni devono valere insieme, si prende l'intersezione. Se è sufficiente che ne valga una, si prende l'unione.
Esempio lineare: isolare l'incognita e controllare
Risolviamo . Sottraendo 4 si ottiene . La divisione per meno 3 inverte il verso e produce . Il valore di confine meno 2 rende uguali i due membri, quindi non va incluso. Provando meno 3, il primo membro vale 13, maggiore di 10: il lato scelto è corretto.
Una disequazione quadratica è uno studio del segno
Si portano tutti i termini in un membro e si trovano gli zeri reali del polinomio. Gli zeri dividono la retta in intervalli nei quali un polinomio continuo non può cambiare segno senza attraversare lo zero. Le radici si possono trovare con la scomposizione, la formula risolutiva o il grafico. Poi si prova un valore in ogni intervallo oppure si usa il verso della parabola.
Per , il polinomio si scompone in . La parabola con concavità verso l'alto si trova sotto l'asse orizzontale soltanto tra le due radici, quindi la soluzione è l'intervallo aperto da 2 a 3. Con un confronto minore o uguale a zero, anche le radici sarebbero incluse.
Osserva come cambia il segno di una quadratica
Sposta i cursori: il grafico e gli intervalli del segno si aggiornano insieme.
Denominatori e radici impongono altri confini
In una disequazione razionale, i valori che annullano il denominatore restano esclusi anche se un'espressione semplificata sembra accettarli. Zeri del numeratore e del denominatore entrano nello studio del segno, ma solo quelli del numeratore possono essere inclusi in una disequazione non stretta. Con una radice di indice pari, il radicando deve essere non negativo. Elevare al quadrato i due membri può introdurre soluzioni estranee, soprattutto se un membro può essere negativo; per questo i candidati vanno verificati nella relazione originale.
Il grafico controlla l'intervallo, non sostituisce l'algebra
Il grafico di è sopra l'asse orizzontale negli intervalli soluzione. È un buon controllo, ma la risoluzione dello schermo può nascondere una radice doppia o un intervallo molto stretto. Gli estremi esatti e le condizioni di esistenza devono determinare la notazione finale. La visualizzazione interattiva serve a capire il comportamento; la risposta conserva i confini simbolici.
