Nierówność porównuje wielkości, nie stwierdzając ich równości. Rozwiązaniem jest zazwyczaj zbiór wartości, a nie jedna liczba. Znaki ostre wykluczają równość, a nieostre ją dopuszczają. Przekształcenia algebraiczne wyznaczają punkty graniczne; oś liczbowa, zapis przedziałowy lub tabela znaków pokazują następnie, po której stronie granicy spełniony jest pierwotny warunek.
Nierówność liniowa i odwrócenie znaku
Dodanie lub odjęcie tej samej liczby po obu stronach zachowuje porządek. To samo dotyczy mnożenia i dzielenia przez liczbę dodatnią. Czynnik ujemny odwraca porządek, bo odwraca położenie liczb na osi. Liczba 2 jest mniejsza od 5, ale po pomnożeniu obu przez minus jeden liczba minus 2 jest większa od minus 5.
Kółko otwarte oznacza porównanie ostre, takie jak . Kółko zamalowane odpowiada . Nieskończoność nigdy nie jest włączonym końcem przedziału, dlatego przy lub zawsze zapisuje się nawias okrągły. Gdy oba warunki muszą być spełnione, bierzemy ich część wspólną. Gdy wystarczy którykolwiek, bierzemy sumę zbiorów.
Przykład liniowy: izolowanie zmiennej i kontrola
Rozwiążmy . Po odjęciu 4 mamy . Dzielenie przez minus 3 odwraca znak, więc . Wartość graniczna minus 2 daje równość stron i musi zostać wykluczona. Dla minus 3 lewa strona wynosi 13, jest większa od 10 i potwierdza właściwy kierunek.
Nierówność kwadratowa pyta o znak wielomianu
Wszystkie wyrazy przenosimy na jedną stronę i znajdujemy rzeczywiste miejsca zerowe otrzymanego trójmianu. Dzielą one oś na przedziały, w których ciągły wielomian nie może zmienić znaku bez przejścia przez zero. Miejsca zerowe można znaleźć przez rozkład, wzór kwadratowy lub wykres. Potem sprawdzamy jeden punkt z każdego przedziału albo korzystamy z kierunku ramion paraboli.
Dla rozkład ma postać . Parabola skierowana ramionami w górę leży poniżej osi tylko między miejscami zerowymi, więc rozwiązaniem jest otwarty przedział od 2 do 3. Dla znaku mniejszego lub równego zero oba końce należałyby do rozwiązania.
Zobacz, jak zmienia się znak funkcji kwadratowej
Przesuwaj suwaki. Wykres i opis przedziałów znaku aktualizują się razem.
Mianowniki i pierwiastki tworzą dodatkowe granice
W nierówności wymiernej wartości zerujące mianownik są wykluczone nawet wtedy, gdy skrócone wyrażenie zdaje się je dopuszczać. Zera licznika i mianownika trafiają do tabeli znaków, lecz tylko zera licznika mogą należeć do rozwiązania nierówności nieostrej. Przy pierwiastku parzystego stopnia wyrażenie podpierwiastkowe musi być nieujemne. Podnoszenie obu stron do kwadratu może dodać rozwiązania obce, zwłaszcza gdy jedna strona bywa ujemna, dlatego kandydatów trzeba wstawić do warunku początkowego.
Wykres sprawdza przedział, ale nie zastępuje rachunku
Wykres leży nad osią poziomą w przedziałach rozwiązania. To dobre sprawdzenie, jednak rozdzielczość ekranu może ukryć pierwiastek podwójny albo bardzo wąski przedział. Ostateczny zapis powinien wynikać z dokładnych miejsc zerowych i ograniczeń dziedziny. Widok interaktywny rozwija intuicję, a odpowiedź zachowuje granice symboliczne.
Układ nierówności wymaga części wspólnej
W układzie wszystkie warunki muszą być prawdziwe jednocześnie. Jeżeli pierwszy daje , a drugi , rozwiązaniem jest , czyli część wspólna dwóch przedziałów. Zapis „lub” oznaczałby sumę i odpowiadałby innemu pytaniu. Przy kilku warunkach warto narysować każdy zbiór w osobnym wierszu osi liczbowej, a dopiero potem zaznaczyć wspólny fragment.
Gdy nierówność zawiera wartość bezwzględną, również trzeba rozpoznać rodzaj połączenia. Warunek, że odległość od punktu jest mniejsza od liczby dodatniej, prowadzi do jednego przedziału. Warunek „większa” prowadzi do dwóch zewnętrznych przedziałów. Taka interpretacja odległości pomaga ustalić poprawne „i” albo „lub” przed rozpoczęciem przekształceń.
