En ulighed sammenligner størrelser uden at påstå, at de er ens. Løsningen er som regel en mængde af værdier frem for ét tal. Strenge ulighedstegn udelukker lighed, mens de inkluderende tegn tillader den. Algebraiske omskrivninger finder grænseværdien; en tallinje, intervalnotation eller et fortegnsskema viser derefter, på hvilken side af grænsen den oprindelige sammenligning er sand.
Lineære uligheder følger ligningsreglerne, indtil fortegnet vendes
Når det samme tal lægges til eller trækkes fra på begge sider, bevares rækkefølgen. Multiplikation eller division med et positivt tal bevarer den også. En negativ faktor vender rækkefølgen, fordi den vender placeringerne på tallinjen. For eksempel er 2 mindre end 5, men efter multiplikation med minus en er minus 2 større end minus 5.
Et åbent endepunkt viser en streng ulighed som . Et lukket endepunkt viser . Uendelig er aldrig et medtaget endepunkt, så intervalnotation bruger altid en parentes ved eller . Når to betingelser begge skal gælde, findes deres fællesmængde. Når den ene eller den anden må gælde, findes deres foreningsmængde.
Gennemregnet lineært eksempel: isolér variablen og kontrollér grænsen
Løs . Træk 4 fra for at få . Division med minus 3 vender ulighedstegnet og giver . Grænseværdien minus 2 gør de to sider ens og skal derfor udelukkes. Prøves minus 3, bliver venstresiden 13, som er større end 10 og bekræfter den valgte side.
En kvadratisk ulighed er et spørgsmål om fortegn
Saml alle led på den ene side, og find de reelle nulpunkter for det resulterende andengradspolynomium. Nulpunkterne deler tallinjen i intervaller, hvor et kontinuert polynomium ikke kan skifte fortegn uden at passere nul. Faktorisering, løsningsformlen eller en graf kan finde nulpunkterne. Test derefter én værdi i hvert interval, eller brug parablens åbningsretning.
For faktoriseres polynomiet som . Parablen åbner opad og ligger kun under den vandrette akse mellem de to rødder, så løsningen er det åbne interval fra 2 til 3. Hvis sammenligningen i stedet var mindre end eller lig med nul, skulle begge rødder medtages.
Se, hvordan en andengradsfunktion skifter fortegn
Flyt skyderne. Grafen og intervaloversigten opdateres sammen.
Nævnere og kvadratrødder giver ekstra domænegrænser
I en rational ulighed er værdier, der gør en nævner lig nul, udelukket, selv hvis et forkortet udtryk ser ud til at tillade dem. Både tællerens og nævnerens nulpunkter indgår i fortegnsskemaet, men kun tællerens nulpunkter kan medtages i en ikke-streng løsning. Ved rødder med lige indeks skal hver radikand først kræves ikke-negativ. Kvadrering af begge sider kan indføre falske løsninger, især hvis den ene side kan være negativ, så kandidaterne skal indsættes i det oprindelige udsagn.
En graf kontrollerer intervallet uden at erstatte algebraen
Grafen for ligger over den vandrette akse i løsningsintervallerne. Det gør grafen til en nyttig kontrol, men skærmens opløsning kan skjule en dobbeltrod eller et meget smalt interval. Eksakte rødder og begrænsninger på definitionsmængden skal bestemme den endelige notation. Brug den interaktive visning til at opbygge forståelse, men behold de symbolske endepunkter i svaret.
