Eine Ungleichung vergleicht Größen, ohne ihre Gleichheit zu behaupten. Ihre Lösung ist meist eine Menge von Werten und nicht nur eine Zahl. Strenge Vergleichszeichen schließen die Gleichheit aus, nicht strenge schließen sie ein. Algebraische Umformungen bestimmen die Grenzwerte. Ein Zahlenstrahl, die Intervallschreibweise oder eine Vorzeichentabelle hält anschließend fest, auf welcher Seite dieser Grenzen die ursprüngliche Ungleichung erfüllt ist.
Lineare Ungleichungen verhalten sich bis zu einem Vorzeichenwechsel wie Gleichungen
Addiert oder subtrahiert man auf beiden Seiten dieselbe Größe, bleibt die Ordnung erhalten. Auch die Multiplikation oder Division mit einer positiven Zahl verändert das Vergleichszeichen nicht. Ein negativer Faktor kehrt die Ordnung um, weil er die Positionen auf dem Zahlenstrahl spiegelt. Beispielsweise ist 2 kleiner als 5. Nach der Multiplikation beider Zahlen mit minus eins ist jedoch minus 2 größer als minus 5.
Ein offener Randpunkt steht für einen strengen Vergleich wie . Ein geschlossener Randpunkt steht für . Unendlich ist nie als Randpunkt enthalten, daher steht in der Intervallschreibweise neben oder immer eine runde Klammer. Müssen zwei Bedingungen gleichzeitig gelten, bildet man ihre Schnittmenge. Reicht eine der Bedingungen aus, verwendet man die Vereinigung.
Lineares Rechenbeispiel: Variable freistellen und Grenze prüfen
Löse . Subtrahiere 4 und erhalte . Bei der Division durch minus 3 muss das Vergleichszeichen umgekehrt werden. Damit folgt . Der Grenzwert minus 2 macht beide Seiten gleich und wird deshalb ausgeschlossen. Setzt man zur Probe minus 3 ein, ergibt die linke Seite 13. Das ist größer als 10 und bestätigt die gewählte Seite.
Eine quadratische Ungleichung fragt nach Vorzeichen
Bringe alle Terme auf eine Seite und bestimme die reellen Nullstellen des entstehenden quadratischen Polynoms. Diese Nullstellen teilen den Zahlenstrahl in Intervalle. Innerhalb eines solchen Intervalls kann ein stetiges Polynom sein Vorzeichen nicht wechseln, ohne zuvor null zu werden. Faktorisierung, die Lösungsformel oder ein Graph liefern die Nullstellen. Danach genügt ein Prüfwert aus jedem Intervall, oder man nutzt die Öffnungsrichtung der Parabel.
Für faktorisiert man das Polynom zu . Die nach oben geöffnete Parabel liegt nur zwischen ihren beiden Nullstellen unter der waagerechten Achse. Die Lösung ist daher das offene Intervall von 2 bis 3. Lautete der Vergleich kleiner oder gleich null, würden beide Nullstellen dazugehören.
Untersuche den Vorzeichenwechsel einer quadratischen Funktion
Bewege die Regler. Graph und Intervallübersicht werden gemeinsam aktualisiert.
Nenner und Quadratwurzeln schaffen zusätzliche Bereichsgrenzen
Bei einer gebrochenrationalen Ungleichung sind alle Werte ausgeschlossen, die einen Nenner null machen. Das gilt auch dann, wenn ein gekürzter Ausdruck sie scheinbar zulässt. Nullstellen von Zähler und Nenner gehören beide in die Vorzeichentabelle, aber nur Zählernullstellen dürfen Teil einer nicht strengen Lösung sein. Bei Quadratwurzeln muss zunächst jeder Radikand einer geraden Wurzel nicht negativ sein. Durch Quadrieren können Scheinlösungen entstehen, besonders wenn eine Seite negativ sein kann. Deshalb müssen Kandidaten in die ursprüngliche Aussage eingesetzt werden.
Der Graph prüft das Intervall, ersetzt aber nicht die Algebra
Der Graph von liegt in den Lösungsintervallen oberhalb der waagerechten Achse. Ein Graph eignet sich daher gut zur Kontrolle. Die Bildschirmauflösung kann jedoch eine doppelte Nullstelle oder ein sehr schmales Intervall verdecken. Exakte Nullstellen und Bereichseinschränkungen bestimmen die endgültige Schreibweise. Nutze die interaktive Darstellung für das Verständnis und behalte die symbolischen Randwerte in der Antwort bei.
