Logarithmen: Rechenregeln, Gleichungen und Basiswechsel

Ein Logarithmus beantwortet eine Frage nach dem Exponenten. Die Aussage ${\log }_{b}x=y$ bedeutet, dass die Basis $b$, potenziert mit dem Exponenten $y$, den Wert $x$ ergibt. Bei reellen Logarithmen muss die Basis positiv und von eins verschieden sein; das Argument muss positiv sein. Diese Einschränkungen gehören zur Definition und sind keine freiwilligen Kontrollen nach der Rechnung.

Basis, Argument und Logarithmus haben verschiedene Aufgaben

In ${\log }_{2}8=3$ ist 2 die Basis, 8 das Argument und 3 der Logarithmus. Die Gleichung stimmt, weil $2^3=8$ gilt. Ein Logarithmus kann negativ sein: ${\log }_{10}\mathrm{0,01}=-2$. Sein reelles Argument darf aber weder null noch negativ sein. Der Logarithmus zur Basis zehn wird häufig dekadischer Logarithmus genannt. Der Logarithmus zur Basis $e$ ist der natürliche Logarithmus und wird als $\ln$ geschrieben.

Die Schreibweise $\log$ ohne sichtbare Basis hängt vom Kontext ab. In vielen Schulbüchern ist die Basis zehn gemeint; in höherer Mathematik und Software kann der natürliche Logarithmus gemeint sein. Gib die Konvention an oder verwende ausdrücklich ${\log }_{10}$ und $\ln$, wenn eine Verwechslung möglich ist.

Exponentialfunktion und Logarithmus vergleichen

Ändere die Basis. Beide Graphen sind Spiegelbilder an der Geraden y = x, weil die Funktionen einander umkehren.

BasisGewählter x-Wert

Produkt-, Quotienten- und Potenzregeln folgen aus den Potenzgesetzen

Für positive Argumente wird der Logarithmus eines Produkts zu einer Summe, der Logarithmus eines Quotienten zu einer Differenz, und ein Exponent kann als Faktor vor den Logarithmus gezogen werden. Eine entsprechende Regel für die Aufteilung einer Summe gibt es nicht. Im Allgemeinen ist ${\log }_b(x+y)$ nicht gleich ${\log }_{b}x+{\log }_{b}y$.

Mit diesen Identitäten lassen sich Produkte zusammenfassen oder für die Lösung einer Gleichung aufteilen. Prüfe zuerst den Definitionsbereich. Wer zum Beispiel $\log (x-2)$ umformt, muss $x>2$ beachten. Algebra außerhalb dieses Bereichs erzeugt keinen gültigen Logarithmus.

Mit dem Basiswechsel wird jede zulässige Basis berechenbar

Teile zwei Logarithmen derselben geeigneten Basis: ${\log }_{b}x=\frac{\ln x}{\ln b}$. Der Nenner ist nicht null, weil $b\ne 1$. Ein Taschenrechner, der nur $\ln$ und ${\log }_{10}$ anbietet, kann damit auch ${\log }_{2}7$ berechnen. Die gewählte Hilfsbasis kürzt sich heraus, sofern in Zähler und Nenner dieselbe verwendet wird.

Rechenbeispiel: eine Summe aus zwei Logarithmen lösen

Löse ${\log }_2(x-1)+{\log }_2(x-3)=3$. Aus den Argumenten folgt zunächst $x>3$. Fasse die Summe zum Logarithmus eines Produkts zusammen, wechsle in die Exponentialschreibweise und löse die entstehende quadratische Gleichung. Die Algebra liefert zwei Kandidaten, aber nur einer liegt im ursprünglichen Definitionsbereich.

Die Kandidaten sind 5 und minus 1. Beim Einsetzen wird minus 1 verworfen, weil beide logarithmischen Argumente negativ wären. Die einzige reelle Lösung ist $x=5$. Die Kontrolle ergibt ${\log }_{2}4+{\log }_{2}2=2+1=3$.

Logarithmen kehren zusammengesetztes Wachstum um

Steht die Unbekannte im Exponenten, kann ein Logarithmus sie freistellen. In der Zinseszinsgleichung $M=C{(1+i)}^n$ ist die Periodenzahl $n=\frac{\log \left(\frac{M}{C}\right)}{\log (1+i)}$, sofern alle benötigten Größen positiv sind und für diese Umformung $i>-1$ sowie $i\ne 0$ gilt. So werden Logarithmen mit zusammengesetztem Wachstum verbunden, ohne das mathematische Ergebnis zu einer Prognose zu erklären.

Im Graphen sind eine Exponentialfunktion und ihr Logarithmus zur selben Basis Spiegelbilder an $y=x$. Bei Basen größer als eins steigen beide, bei Basen zwischen null und eins fallen beide. Der Logarithmus besitzt bei $x=0$ eine senkrechte Asymptote. Sie kennzeichnet die ausgeschlossene Grenze seines Definitionsbereichs.