Logaritmit: laskusäännöt, yhtälöt ja kannan vaihto

Logaritmi vastaa eksponenttia koskevaan kysymykseen. Yhtälö ${\log }_{b}x=y$ tarkoittaa, että kantaluvun $b$ korottaminen eksponenttiin $y$ tuottaa luvun $x$. Reaalisilla logaritmeilla kantaluvun on oltava positiivinen ja eri suuri kuin yksi, ja argumentin on oltava positiivinen. Ehdot kuuluvat määritelmään. Ne eivät ole vapaaehtoisia tarkistuksia, jotka lisätään laskun jälkeen.

Kantaluvulla, argumentilla ja logaritmilla on omat tehtävänsä

Yhtälössä ${\log }_{2}8=3$ luku 2 on kantaluku, 8 on argumentti ja 3 on logaritmi. Yhtälö on tosi, koska $2^3=8$. Logaritmi voi olla negatiivinen: ${\log }_{10}\mathrm{0,01}=-2$. Sen reaalinen argumentti ei kuitenkaan voi olla nolla tai negatiivinen. Kymmenkantaista logaritmia kutsutaan usein Briggsin logaritmiksi, kun taas kantaluvun $e$ logaritmi on luonnollinen logaritmi ja merkitään $\ln$.

Merkinnän $\log$ kantaluku riippuu asiayhteydestä, jos sitä ei ole kirjoitettu näkyviin. Monissa kouluteksteissä se tarkoittaa kantalukua kymmenen. Korkeammassa matematiikassa ja ohjelmistoissa se voi tarkoittaa luonnollista logaritmia. Ilmoita käytäntö tai kirjoita ${\log }_{10}$ ja $\ln$ näkyviin aina, kun epäselvyydellä on merkitystä.

Vertaa eksponenttifunktiota ja sen logaritmia

Muuta kantalukua. Kuvaajat peilautuvat suoran y = x suhteen, koska funktiot kumoavat toisensa.

KantalukuValittu x-arvo

Tulon, osamäärän ja potenssin säännöt seuraavat potenssilaeista

Positiivisilla argumenteilla tulon logaritmi on summa, osamäärän logaritmi on erotus ja eksponentti voidaan siirtää eteen kertoimeksi. Summan logaritmia ei voi jakaa samalla tavalla. Yleisesti ${\log }_b(x+y)$ ei ole sama kuin ${\log }_{b}x+{\log }_{b}y$.

Näillä identiteeteillä voidaan tiivistää tuloja tai avata niitä yhtälön ratkaisemista varten. Selvitä määrittelyjoukko ensin. Esimerkiksi lausekkeen $\log (x-2)$ avaaminen vaatii ehdon $x>2$. Määrittelyjoukon ulkopuolella tehty algebra ei muodosta kelvollista logaritmia.

Kannanvaihtokaava tekee jokaisesta sallitusta kannasta laskettavan

Jaa logaritmit, jotka on kirjoitettu samalla sopivalla kantaluvulla: ${\log }_{b}x=\frac{\ln x}{\ln b}$. Nimittäjä ei ole nolla, koska $b\ne 1$. Laskin, jossa on vain $\ln$ ja ${\log }_{10}$, voi siis laskea arvon ${\log }_{2}7$. Apukanta supistuu pois, kunhan osoittajassa ja nimittäjässä käytetään samaa kantaa.

Laskettu esimerkki: kahden logaritmin summan ratkaiseminen

Ratkaise ${\log }_2(x-1)+{\log }_2(x-3)=3$. Argumentit vaativat ensin ehdon $x>3$. Yhdistä summa tulon logaritmiksi, muuta se eksponenttimuotoon ja ratkaise syntyvä toisen asteen yhtälö. Algebra antaa kaksi ehdokasta, mutta vain toinen kuuluu alkuperäiseen määrittelyjoukkoon.

Ehdokkaat ovat 5 ja miinus 1. Sijoittaminen hylkää luvun miinus 1, koska molemmat logaritmien argumentit olisivat negatiivisia. Ainoa reaalinen ratkaisu on $x=5$, ja tarkistus antaa ${\log }_{2}4+{\log }_{2}2=2+1=3$.

Logaritmit purkavat eksponentiaalisen kasvun

Kun tuntematon on eksponentissa, se voidaan eristää logaritmilla. Koronkorkoyhtälössä $M=C{(1+i)}^n$ jaksojen määrä on $n=\frac{\log \left(\frac{M}{C}\right)}{\log (1+i)}$, jos kaikki tarvittavat suureet ovat positiivisia ja $i>-1$, sekä $i\ne 0$ tätä muunnosta varten. Yhteys liittää logaritmit koronkorkokasvuun tekemättä matemaattisesta tuloksesta ennustetta.

Kuvaajassa eksponenttifunktio ja saman kannan logaritmifunktio ovat toistensa peilikuvia suoran $y=x$ suhteen. Kun kanta on suurempi kuin yksi, molemmat kasvavat. Kun kanta on nollan ja yhden välissä, molemmat vähenevät. Logaritmilla on pystyasymptootti kohdassa $x=0$, joka merkitsee määrittelyjoukon pois suljettua rajaa.