Logaritmos: propiedades, ecuaciones y cambio de base

Un logaritmo responde a una pregunta sobre exponentes. La igualdad ${\log }_{b}x=y$ significa que elevar la base $b$ al exponente $y$ produce $x$. En los logaritmos reales, la base debe ser positiva y distinta de uno, y el argumento debe ser positivo. Estas restricciones forman parte de la definición; no son comprobaciones opcionales que se añaden después del cálculo.

La base, el argumento y el logaritmo cumplen funciones distintas

En ${\log }_{2}8=3$, 2 es la base, 8 es el argumento y 3 es el logaritmo. La igualdad es cierta porque $2^3=8$. Un logaritmo puede ser negativo: ${\log }_{10}\mathrm{0,01}=-2$. Sin embargo, no puede tener un argumento real igual a cero o negativo. El logaritmo en base diez se denomina a menudo logaritmo decimal; el de base $e$ es el logaritmo natural o neperiano y se escribe $\ln$.

La notación $\log$ sin una base visible depende del contexto. Muchos textos escolares entienden base diez; en matemáticas superiores y programas informáticos puede significar el logaritmo natural. Indica la convención o utiliza ${\log }_{10}$ y $\ln$ de forma explícita cuando pueda haber ambigüedad.

Compara una exponencial y su logaritmo

Cambia la base. Las dos curvas son simétricas respecto de la recta y = x porque las funciones deshacen una a la otra.

BaseValor de x seleccionado

Las reglas de producto, cociente y potencia proceden de las leyes de los exponentes

Con argumentos positivos, el logaritmo de un producto es una suma, el de un cociente es una diferencia y un exponente puede pasar delante como factor. No existe una regla equivalente que separe el logaritmo de una suma. En general, ${\log }_b(x+y)$ no es igual a ${\log }_{b}x+{\log }_{b}y$.

Estas identidades permiten condensar productos o desarrollarlos para resolver ecuaciones. Aplica primero el dominio. Por ejemplo, desarrollar $\log (x-2)$ exige $x>2$; el álgebra realizada fuera de ese dominio no crea un logaritmo válido.

El cambio de base permite calcular cualquier base válida

Divide logaritmos escritos en la misma base conveniente: ${\log }_{b}x=\frac{\ln x}{\ln b}$. El denominador no es cero porque $b\ne 1$. Así, una calculadora que solo tenga $\ln$ y ${\log }_{10}$ puede evaluar ${\log }_{2}7$. La base auxiliar se cancela siempre que sea la misma en el numerador y el denominador.

Ejemplo resuelto: una suma de dos logaritmos

Resuelve ${\log }_2(x-1)+{\log }_2(x-3)=3$. Los argumentos exigen primero $x>3$. Reúne la suma en el logaritmo de un producto, conviértelo a forma exponencial y resuelve la ecuación cuadrática resultante. El álgebra proporciona dos candidatos, pero solo uno pertenece al dominio original.

Los candidatos son 5 y menos 1. La sustitución descarta menos 1 porque ambos argumentos logarítmicos serían negativos. La única solución real es $x=5$, y la comprobación da ${\log }_{2}4+{\log }_{2}2=2+1=3$.

Los logaritmos deshacen el crecimiento compuesto

Cuando la incógnita está en un exponente, un logaritmo permite aislarla. En la ecuación de interés compuesto $M=C{(1+i)}^n$, el número de periodos es $n=\frac{\log \left(\frac{M}{C}\right)}{\log (1+i)}$, siempre que todas las cantidades necesarias sean positivas y $i>-1$, con $i\ne 0$ para este despeje. Esta relación conecta los logaritmos con el crecimiento compuesto sin convertir el resultado matemático en una previsión.

En una gráfica, una función exponencial y su logaritmo en la misma base son simétricos respecto de $y=x$. Si la base es mayor que uno, ambas crecen; si está entre cero y uno, ambas decrecen. El logaritmo tiene una asíntota vertical en $x=0$, que marca la frontera excluida de su dominio.