Logaritmer: räkneregler, ekvationer och basbyte

En logaritm besvarar en fråga om en exponent. Påståendet ${\log }_{b}x=y$ betyder att basen $b$ upphöjd till exponenten $y$ ger $x$. För reella logaritmer måste basen vara positiv och skild från ett, och argumentet måste vara positivt. Begränsningarna är en del av definitionen, inte frivilliga kontroller som läggs till efter beräkningen.

Bas, argument och logaritm har olika roller

I ${\log }_{2}8=3$ är 2 basen, 8 argumentet och 3 logaritmen. Likheten gäller eftersom $2^3=8$. En logaritm kan vara negativ: ${\log }_{10}\mathrm{0,01}=-2$. Den kan inte ha noll eller ett negativt reellt tal som argument. Logaritmen med bas tio kallas ofta tiologaritmen, medan basen $e$ ger den naturliga logaritmen och skrivs $\ln$.

Notation med $\log$ utan angiven bas beror på sammanhanget. I många skolböcker avses bas tio, medan högre matematik och programvara ibland avser den naturliga logaritmen. Ange konventionen eller skriv ${\log }_{10}$ och $\ln$ uttryckligen när skillnaden har betydelse.

Jämför en exponentialfunktion med dess logaritm

Ändra basen. De två kurvorna speglas i linjen y = x eftersom funktionerna tar ut varandra.

BasValt x-värde

Produkt-, kvot- och potensreglerna följer av potenslagarna

För positiva argument är logaritmen av en produkt en summa, logaritmen av en kvot en differens och en exponent kan flyttas framför logaritmen som en faktor. Det finns ingen motsvarande regel som delar upp logaritmen av en summa. I allmänhet är ${\log }_b(x+y)$ inte ${\log }_{b}x+{\log }_{b}y$.

Identiteterna kan användas för att skriva ihop produkter eller utveckla dem vid ekvationslösning. Bestäm definitionsmängden först. Om du exempelvis utvecklar $\log (x-2)$ krävs $x>2$. Algebra som utförs utanför den definitionsmängden skapar inte en giltig logaritm.

Basbyte gör varje tillåten bas beräkningsbar

Dividera logaritmer med samma praktiska bas: ${\log }_{b}x=\frac{\ln x}{\ln b}$. Nämnaren är inte noll eftersom $b\ne 1$. En räknare som bara har $\ln$ och ${\log }_{10}$ kan därför beräkna ${\log }_{2}7$. Den hjälpbas som väljs försvinner ur kvoten, förutsatt att samma bas används i täljaren och nämnaren.

Exempel: lös en summa av två logaritmer

Lös ${\log }_2(x-1)+{\log }_2(x-3)=3$. Argumenten kräver först $x>3$. Skriv ihop summan som logaritmen av en produkt, övergå till exponentialform och lös den kvadratiska ekvation som bildas. Algebran ger två kandidater, men bara en ligger i den ursprungliga definitionsmängden.

Kandidaterna är 5 och minus 1. Insättning utesluter minus 1, eftersom båda logaritmernas argument då skulle vara negativa. Den enda reella lösningen är $x=5$, och kontrollen ger ${\log }_{2}4+{\log }_{2}2=2+1=3$.

Logaritmer vänder på sammansatt tillväxt

När den okända storheten finns i en exponent kan en logaritm isolera den. I formeln för ränta på ränta $M=C{(1+i)}^n$ är antalet perioder $n=\frac{\log \left(\frac{M}{C}\right)}{\log (1+i)}$, under förutsättning att alla nödvändiga storheter är positiva och att $i>-1$ samt $i\ne 0$ för just denna omskrivning. Det kopplar logaritmer till tillväxt med ränta på ränta utan att göra det matematiska resultatet till en prognos.

I en graf är en exponentialfunktion och logaritmfunktionen med samma bas speglingar av varandra i $y=x$. För baser större än ett är båda växande. För baser mellan noll och ett är båda avtagande. Logaritmen har en lodrät asymptot vid $x=0$, som markerar den uteslutna gränsen för definitionsmängden.