Logaritmer: regneregler, ligninger og basisskift

En logaritme besvarer et spørgsmål om en eksponent. Udsagnet ${\log }_{b}x=y$ betyder, at grundtallet $b$ opløftet i eksponenten $y$ giver $x$. For reelle logaritmer skal grundtallet være positivt og forskelligt fra en, og argumentet skal være positivt. Betingelserne er en del af definitionen, ikke valgfrie kontroller, der kan tilføjes efter beregningen.

Grundtal, argument og logaritme har hver sin rolle

I ${\log }_{2}8=3$ er 2 grundtallet, 8 argumentet og 3 logaritmen. Ligheden er sand, fordi $2^3=8$. En logaritme kan være negativ: ${\log }_{10}\mathrm{0,01}=-2$. Den kan derimod ikke have nul eller et negativt reelt tal som argument. Logaritmen med grundtal ti kaldes ofte titalslogaritmen, mens logaritmen med grundtal $e$ er den naturlige logaritme og skrives $\ln$.

Notationen $\log$ uden et vist grundtal afhænger af sammenhængen. Mange skolebøger mener grundtal ti; i videregående matematik og software kan den betyde den naturlige logaritme. Angiv konventionen, eller brug ${\log }_{10}$ og $\ln$ udtrykkeligt, når tvetydigheden har betydning.

Sammenlign en eksponentialfunktion og dens logaritme

Skift grundtallet. De to grafer spejles i linjen y = x, fordi funktionerne ophæver hinanden.

GrundtalValgt x-værdi

Produkt-, kvotient- og potensreglerne følger af potensreglerne

For positive argumenter er logaritmen til et produkt en sum, logaritmen til en kvotient en differens, og en eksponent kan flyttes frem som en faktor. Der findes ingen tilsvarende regel, der opdeler logaritmen til en sum. Generelt er ${\log }_b(x+y)$ ikke det samme som ${\log }_{b}x+{\log }_{b}y$.

Identiteterne kan samle produkter eller udvide dem, når en ligning skal løses. Find først definitionsmængden. For eksempel kræver en udvidelse af $\log (x-2)$, at $x>2$; algebra uden for denne definitionsmængde skaber ikke en gyldig logaritme.

Basisskift gør ethvert gyldigt grundtal beregneligt

Divider logaritmer skrevet med det samme praktiske grundtal: ${\log }_{b}x=\frac{\ln x}{\ln b}$. Nævneren er ikke nul, fordi $b\ne 1$. En lommeregner med kun $\ln$ og ${\log }_{10}$ kan derfor beregne ${\log }_{2}7$. Det valgte hjælpegrundtal går ud, så længe det samme bruges i tæller og nævner.

Gennemregnet eksempel: løs en sum af to logaritmer

Løs ${\log }_2(x-1)+{\log }_2(x-3)=3$. Argumenterne kræver først $x>3$. Saml summen til logaritmen af et produkt, omskriv til eksponentialform, og løs den resulterende andengradsligning. Algebraen giver to kandidater, men kun én ligger i den oprindelige definitionsmængde.

Kandidaterne er 5 og minus 1. Ved indsættelse forkastes minus 1, fordi begge logaritmers argumenter ville være negative. Den eneste reelle løsning er $x=5$, og kontrollen giver ${\log }_{2}4+{\log }_{2}2=2+1=3$.

Logaritmer ophæver eksponentiel vækst

Når den ukendte står i en eksponent, kan en logaritme isolere den. I rentes-rente-ligningen $M=C{(1+i)}^n$ er antallet af terminer $n=\frac{\log \left(\frac{M}{C}\right)}{\log (1+i)}$, forudsat at alle nødvendige størrelser er positive, og at $i>-1$, med $i\ne 0$ for denne omskrivning. Det forbinder logaritmer med eksponentiel vækst med rentes rente uden at gøre det matematiske resultat til en prognose.

På en graf er en eksponentialfunktion og dens logaritme med samme grundtal spejlinger i $y=x$. For grundtal større end en er begge voksende; for grundtal mellem nul og en er begge aftagende. Logaritmen har en lodret asymptote ved $x=0$, som markerer den udelukkede grænse for definitionsmængden.