Rentes rente: formel, beregning og vækst

Ved rentes rente lægges hver periodes rente til saldoen, før den næste periode begynder. Den næste rentetilskrivning beregnes derfor af både startkapitalen og de tidligere renter. Med en fast rente per periode og uden indbetalinger eller hævninger skaber denne gentagne multiplikation eksponentiel vækst i stedet for lige store beløbsmæssige stigninger.

Startkapital, rente, terminer, slutkapital og rentebeløb

Lad $C$ være startkapitalen, $i$ den effektive rente per rentetermin og $n$ antallet af terminer. Slutkapitalen $M$ er saldoen efter disse terminer. Den optjente eller opkrævede rente er $J=M-C$. En procentsats skal skrives som decimaltal i formlen, så 6% bliver 0,06.

Renten og antallet af terminer skal bruge samme tidsenhed. Ved månedlig rentetilskrivning bruges en månedlig rente og et antal måneder. En nominel årlig rente divideret med 12 er ikke det samme som en effektiv årlig rente omregnet til en ækvivalent månedlig rente. Aftalen eller opgaveteksten skal oplyse, hvilken konvention der gælder.

Gennemregnet eksempel: 1.000 til 6% i tre år

Antag, at 6% er en effektiv årlig rente, og at renten tilskrives én gang om året. Gang saldoen med 1,06 tre gange. Før afrunding er slutkapitalen 1.191,016. Afrundet til øre er saldoen 1.191,02, og rentebeløbet er 191,02.

Afrunding først til sidst bevarer den tilsigtede model. Hvis en institution afrunder efter hver termin, kan dens kontoudtog afvige med nogle få øre. Gebyrer, skatter, skiftende renter og konventioner for dagtælling kan skabe en langt større forskel og kræver egne vilkår.

Sammenlign simpel rente og rentes rente

Skift værdierne, og se de lige store stigninger ved simpel rente og de voksende stigninger ved rentes rente.

StartkapitalÅrlig renteÅr

Hvorfor den samme procentsats giver større stigninger senere

I eksemplet er første års rente 60. Det andet år begynder med 1.060, så renten bliver 63,60. Det tredje begynder med 1.123,60 og tilføjer 67,416. Procentsatsen er stadig 6%, men det beløb, den anvendes på, vokser. Til sammenligning ville simpel rente lægge 60 til hvert år og nå 1.180 efter tre år.

Forskellen er lille over korte perioder og vokser over længere tid. Det gør ikke enhver investeringsprognose pålidelig. Et konstant afkast er et matematisk scenario, ikke et løfte om markedet. Ved lån medtager formlen heller ikke afdrag, medmindre betalingsrækken modelleres udtrykkeligt.

Hyppigere rentetilskrivning kræver en fastlagt årlig konvention

Hvis en nominel årlig rente $j$ tilskrives $m$ gange om året, bruger en almindelig lærebogsmodel den periodiske rente $\frac{j}{m}$ og $mt$ terminer over $t$ år. Den tilsvarende effektive årlige rente er ${(1+\frac{j}{m})}^m-1$. Hvis de angivne 6% allerede er en effektiv årlig rente, findes den ækvivalente månedlige rente ud fra ${(1+i_m)}^{12}=\mathrm{1,06}$ i stedet for blot at dividere med 12.

Kontinuert rentetilskrivning bruger en eksponentiel grænseværdi, men er en særskilt konvention og må ikke udledes alene af udtrykket "rentes rente". Fastslå altid, hvornår renten bliver tilskrevet.

Regelmæssige betalinger skaber et pengestrømsproblem

Indbetaling af samme beløb hver måned giver en annuitet, ikke en beregning med én startkapital. Hver indbetaling forrentes i et forskelligt antal terminer. Betaling ved begyndelsen og slutningen af en termin giver også forskellige resultater. En korrekt beregning kræver betalingsbeløbet, tidspunktet, den periodiske rente og antallet af betalinger. Formlen for et enkelt beløb er fortsat byggestenen for hver pengestrøm.