Nell'interesse composto, alla fine di ogni periodo l'interesse entra nel saldo prima che inizi il periodo successivo. Il nuovo interesse viene quindi calcolato sul capitale iniziale più gli interessi già maturati. Con un tasso periodico costante e senza versamenti o prelievi, questa moltiplicazione ripetuta produce una crescita esponenziale, non incrementi sempre dello stesso importo.
Capitale, tasso, periodi, montante e interesse
Indichiamo con il capitale iniziale, con il tasso effettivo per periodo di capitalizzazione e con il numero di periodi. Il montante è il saldo alla fine. L'interesse è . Nella formula il tasso percentuale va scritto in forma decimale: 6% diventa 0,06.
Tasso e numero di periodi devono usare la stessa unità. Se la capitalizzazione è mensile, occorrono un tasso mensile e un numero di mesi. Un tasso annuo nominale diviso per 12 non coincide con un tasso annuo effettivo convertito nel corrispondente tasso mensile. È il contratto o il testo del problema a stabilire la convenzione.
Esempio svolto: 1.000 al 6% per tre anni
Supponiamo che il 6% sia un tasso annuo effettivo e che l'interesse venga accreditato una volta l'anno. Si moltiplica il saldo per 1,06 tre volte. Prima dell'arrotondamento il montante è 1.191,016. Ai centesimi si ottengono 1.191,02 e l'interesse composto è 191,02.
Arrotondare soltanto alla fine preserva il modello. Se un intermediario arrotonda a ogni periodo, il suo prospetto può differire di pochi centesimi. Commissioni, imposte, tassi variabili e convenzioni sui giorni possono produrre differenze maggiori e richiedono un modello più articolato.
Confronta crescita semplice e composta
Modifica i dati e osserva gli incrementi costanti dell'interesse semplice e quelli crescenti della capitalizzazione.
Perché la stessa percentuale genera incrementi crescenti
Nell'esempio, il primo anno produce 60. Il secondo inizia da 1.060 e genera 63,60. Il terzo parte da 1.123,60 e aggiunge 67,416. La percentuale resta 6%, ma cresce la base su cui si applica. Con l'interesse semplice si aggiungerebbero invece 60 ogni anno, arrivando a 1.180 dopo tre anni.
La differenza è piccola su periodi brevi e si amplia nel tempo. Ciò non rende affidabile ogni previsione d'investimento: un rendimento costante è un'ipotesi matematica, non una promessa del mercato. Nei prestiti, la formula non comprende le rate, a meno che il flusso dei pagamenti sia modellato esplicitamente.
Capitalizzazioni più frequenti e tasso annuo dichiarato
Se un tasso annuo nominale è convertibile volte l'anno, un modello scolastico usa il tasso periodico e periodi in anni. Il tasso annuo effettivo corrispondente è . Se il 6% indicato è già effettivo annuo, il tasso mensile equivalente si ricava da , non dividendo semplicemente per 12.
La capitalizzazione continua usa un limite esponenziale, ma è una convenzione distinta e non va dedotta dalla sola espressione “interesse composto”. Bisogna sempre individuare quando l'interesse viene accreditato.
I versamenti regolari formano un problema di flussi
Versare la stessa somma ogni mese crea una rendita, non un singolo capitale. Ogni versamento resta investito per un numero diverso di periodi. Anche pagare all'inizio o alla fine del periodo cambia il risultato. Servono importo, istante di ciascun versamento, tasso periodico e numero di pagamenti. La formula del capitale unico resta comunque il calcolo di base da applicare separatamente a ogni flusso.
