W procencie składanym odsetki z każdego okresu są dopisywane do salda przed rozpoczęciem następnego. Kolejne odsetki liczy się więc od kapitału początkowego powiększonego o wcześniejsze odsetki. Przy stałej stopie okresowej, bez wpłat i wypłat, powtarzane mnożenie prowadzi do wzrostu wykładniczego, a nie do równych przyrostów kwotowych.
Kapitał, stopa, okresy, wartość końcowa i odsetki
Niech oznacza kapitał początkowy, efektywną stopę na okres kapitalizacji, a liczbę okresów. Wartość jest saldem końcowym, zaś odsetki to . Stopę procentową zapisujemy we wzorze jako liczbę dziesiętną, więc 6% zmienia się w 0,06.
Stopa i liczba okresów muszą używać tej samej jednostki. Przy kapitalizacji miesięcznej potrzebna jest stopa miesięczna i liczba miesięcy. Nominalna stopa roczna podzielona przez 12 nie jest tym samym co efektywna stopa roczna przeliczona na równoważną miesięczną. Konwencję musi określać umowa albo treść problemu.
Przykład: 1000 przy 6% przez trzy lata
Załóżmy, że 6% jest efektywną stopą roczną, a odsetki dopisuje się raz w roku. Saldo mnożymy przez 1,06 trzy razy. Przed zaokrągleniem otrzymujemy 1 191,016. Po zaokrągleniu do groszy wartość końcowa to 1 191,02, a odsetki składane wynoszą 191,02.
Zaokrąglenie dopiero na końcu zachowuje model. Jeśli instytucja zaokrągla saldo w każdym okresie, jej zestawienie może różnić się o kilka groszy. Opłaty, podatki, zmienne stopy i konwencje liczenia dni mogą dać znacznie większą różnicę i wymagają osobnych warunków.
Porównaj wzrost prosty i składany
Zmieniaj dane i obserwuj stałe przyrosty procentu prostego oraz rosnące przyrosty kapitalizacji.
Dlaczego ta sama stopa daje coraz większe przyrosty
W przykładzie odsetki w pierwszym roku wynoszą 60. Drugi rok zaczyna się od salda 1 060 i daje 63,60. Trzeci rozpoczyna się od 1 123,60 i dodaje 67,416. Stopa pozostaje równa 6%, lecz rośnie podstawa naliczania. Procent prosty dodawałby co roku 60 i po trzech latach dałby 1 180.
Różnica jest niewielka przy krótkim czasie i rośnie w długim. Nie oznacza to, że każda prognoza inwestycyjna jest wiarygodna. Stała stopa zwrotu jest założeniem matematycznym, nie obietnicą rynku. W przypadku kredytu wzór nie uwzględnia też spłat, dopóki harmonogram przepływów nie zostanie jawnie zamodelowany.
Częstsza kapitalizacja wymaga właściwej konwencji
Jeśli nominalna stopa roczna jest kapitalizowana razy w roku, typowy model podręcznikowy używa stopy okresowej i okresów w ciągu lat. Odpowiadająca jej efektywna stopa roczna wynosi . Jeśli podane 6% jest już stopą efektywną roczną, równoważną miesięczną wyznaczamy z , zamiast zwyczajnie dzielić przez 12.
Kapitalizacja ciągła korzysta z granicy wykładniczej, ale jest odrębną konwencją i nie wynika automatycznie ze słów „procent składany”. Zawsze trzeba ustalić chwilę dopisania odsetek.
Regularne wpłaty tworzą zadanie o przepływach pieniężnych
Wpłacanie tej samej kwoty co miesiąc tworzy rentę, a nie pojedynczy kapitał. Każda wpłata pracuje przez inną liczbę okresów. Wpłata na początku i na końcu okresu również daje różne wyniki. Obliczenie wymaga kwoty, momentu wpłaty, stopy okresowej i liczby wpłat. Wzór dla jednego kapitału pozostaje składnikiem stosowanym osobno do każdego przepływu.
