Logarytmy: własności, równania i zmiana podstawy

Logarytm odpowiada na pytanie o wykładnik. Zapis ${\log }_{b}x=y$ znaczy, że podniesienie podstawy $b$ do wykładnika $y$ daje $x$. Dla logarytmów rzeczywistych podstawa musi być dodatnia i różna od jednego, a argument dodatni. Są to warunki definicji, nie dodatkowe kontrole wykonywane dopiero po rachunkach.

Podstawa, argument i wartość pełnią różne role

W równości ${\log }_{2}8=3$ liczba 2 jest podstawą, 8 argumentem, a 3 wartością logarytmu, ponieważ $2^3=8$. Logarytm może być ujemny: ${\log }_{10}\mathrm{0,01}=-2$. W zbiorze liczb rzeczywistych nie istnieje logarytm z zera ani liczby ujemnej. Podstawa dziesięć daje logarytm dziesiętny, a podstawa $e$ logarytm naturalny oznaczany $\ln$.

Zapis $\log$ bez podstawy zależy od kontekstu. W wielu podręcznikach szkolnych oznacza podstawę dziesięć, natomiast w matematyce wyższej i oprogramowaniu może oznaczać logarytm naturalny. Gdy rozróżnienie ma znaczenie, należy pisać ${\log }_{10}$ albo $\ln$ wprost.

Porównaj funkcję wykładniczą i jej logarytm

Zmieniaj podstawę. Krzywe są odbiciami względem prostej y = x, ponieważ funkcje są wzajemnie odwrotne.

PodstawaWybrana wartość x

Reguły działania wynikają z praw potęg

Dla dodatnich argumentów logarytm iloczynu jest sumą, logarytm ilorazu różnicą, a wykładnik można przenieść przed logarytm jako czynnik. Nie ma podobnej reguły dla sumy. Na ogół ${\log }_b(x+y)$ nie jest równe ${\log }_{b}x+{\log }_{b}y$.

Tożsamości pozwalają skondensować iloczyny albo rozwinąć je podczas rozwiązywania równań. Dziedzinę sprawdzamy jako pierwszą. Na przykład wyrażenie $\log (x-2)$ wymaga $x>2$; działania algebraiczne poza tą dziedziną nie tworzą poprawnego logarytmu.

Zmiana podstawy pozwala obliczyć dowolną dopuszczalną bazę

Dzielimy logarytmy o tej samej wygodnej podstawie: ${\log }_{b}x=\frac{\ln x}{\ln b}$. Mianownik jest niezerowy, ponieważ $b\ne 1$. Kalkulator mający tylko $\ln$ i ${\log }_{10}$ może dzięki temu obliczyć ${\log }_{2}7$. Podstawa pomocnicza się skraca, pod warunkiem że w liczniku i mianowniku użyto tej samej.

Przykład: równanie z sumą dwóch logarytmów

Rozwiążmy ${\log }_2(x-1)+{\log }_2(x-3)=3$. Argumenty wymagają najpierw $x>3$. Łączymy sumę w logarytm iloczynu, przechodzimy do postaci wykładniczej i rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe. Algebra daje dwóch kandydatów, ale tylko jeden należy do początkowej dziedziny.

Kandydatami są 5 i minus 1. Podstawienie odrzuca minus 1, ponieważ oba argumenty byłyby ujemne. Jedynym rozwiązaniem rzeczywistym jest $x=5$, a sprawdzenie daje ${\log }_{2}4+{\log }_{2}2=2+1=3$.

Logarytm odwraca wzrost składany

Gdy niewiadoma występuje w wykładniku, logarytm pozwala ją wyizolować. W równaniu procentu składanego $M=C{(1+i)}^n$ liczba okresów wynosi $n=\frac{\log \left(\frac{M}{C}\right)}{\log (1+i)}$, jeśli potrzebne wielkości są dodatnie oraz $i>-1$, przy $i\ne 0$ dla tego przekształcenia. Jest to matematyczne połączenie z procentem składanym, nie prognoza wyniku finansowego.

Na wykresie funkcja wykładnicza i logarytm o tej samej podstawie są odbiciami względem $y=x$. Dla podstaw większych od jednego obie rosną; dla podstaw od zera do jednego obie maleją. Logarytm ma asymptotę pionową $x=0$, wyznaczającą wyłączoną granicę dziedziny.

Dokładne wartości najłatwiej znaleźć przez powrót do potęgi. Jeśli argument jest potęgą podstawy, wykładnik odczytuje się bez przybliżenia. Dla pierwiastka wykładnik jest ułamkowy, a dla odwrotności zmienia znak. Dopiero gdy argument nie ma wygodnej postaci, potrzebne jest przybliżenie dziesiętne albo zmiana podstawy.