Logarithmes : propriétés, équations et changement de base

Un logarithme répond à une question sur un exposant. L'égalité ${\log }_{b}x=y$ signifie qu'élever la base $b$ à la puissance $y$ donne $x$. Pour les logarithmes réels, la base doit être positive et différente de un, tandis que l'argument doit être positif. Ces restrictions appartiennent à la définition; ce ne sont pas des vérifications facultatives ajoutées après le calcul.

La base, l'argument et le logarithme ont des rôles différents

Dans ${\log }_{2}8=3$, 2 est la base, 8 l'argument et 3 le logarithme. L'égalité est vraie car $2^3=8$. Un logarithme peut être négatif : ${\log }_{10}\mathrm{0,01}=-2$. En revanche, son argument réel ne peut être ni nul ni négatif. Le logarithme en base dix est souvent appelé logarithme décimal; celui en base $e$ est le logarithme népérien ou naturel et se note $\ln$.

La notation $\log$ sans base affichée dépend du contexte. De nombreux manuels scolaires entendent la base dix; en mathématiques supérieures et dans les logiciels, elle peut désigner le logarithme naturel. Indiquez la convention ou écrivez explicitement ${\log }_{10}$ et $\ln$ lorsque l'ambiguïté est gênante.

Comparez une exponentielle et son logarithme

Modifiez la base. Les deux courbes sont symétriques par rapport à la droite y = x, car les fonctions sont réciproques l'une de l'autre.

BaseValeur de x sélectionnée

Les règles du produit, du quotient et des puissances viennent des lois des exposants

Pour des arguments positifs, le logarithme d'un produit est une somme, celui d'un quotient est une différence et un exposant peut passer devant le logarithme comme facteur. Il n'existe aucune règle analogue pour séparer le logarithme d'une somme. En général, ${\log }_b(x+y)$ n'est pas égal à ${\log }_{b}x+{\log }_{b}y$.

Ces identités permettent de condenser des produits ou de les développer pour résoudre des équations. Commencez par le domaine. Par exemple, développer $\log (x-2)$ exige $x>2$; des calculs algébriques effectués en dehors de ce domaine ne créent pas un logarithme valide.

Le changement de base rend toute base valide calculable

Divisez deux logarithmes écrits dans une même base pratique : ${\log }_{b}x=\frac{\ln x}{\ln b}$. Le dénominateur n'est pas nul puisque $b\ne 1$. Une calculatrice qui ne propose que $\ln$ et ${\log }_{10}$ peut ainsi évaluer ${\log }_{2}7$. La base auxiliaire s'élimine à condition d'utiliser la même au numérateur et au dénominateur.

Exemple détaillé : résoudre une somme de deux logarithmes

Résolvez ${\log }_2(x-1)+{\log }_2(x-3)=3$. Les arguments imposent d'abord $x>3$. Réunissez la somme dans le logarithme d'un produit, passez à la forme exponentielle et résolvez l'équation quadratique obtenue. Le calcul algébrique fournit deux valeurs candidates, mais une seule appartient au domaine initial.

Les valeurs candidates sont 5 et moins 1. La substitution élimine moins 1, car les deux arguments des logarithmes seraient négatifs. L'unique solution réelle est $x=5$, et la vérification donne ${\log }_{2}4+{\log }_{2}2=2+1=3$.

Les logarithmes inversent une croissance composée

Lorsque l'inconnue figure dans un exposant, un logarithme permet de l'isoler. Dans l'équation d'intérêts composés $M=C{(1+i)}^n$, le nombre de périodes est $n=\frac{\log \left(\frac{M}{C}\right)}{\log (1+i)}$, à condition que toutes les grandeurs nécessaires soient positives et que $i>-1$, avec $i\ne 0$ pour cette transformation. Ce lien associe les logarithmes à la croissance composée sans transformer le résultat mathématique en prévision.

Sur une représentation graphique, une fonction exponentielle et son logarithme de même base sont symétriques par rapport à $y=x$. Pour une base supérieure à un, les deux fonctions sont croissantes; pour une base comprise entre zéro et un, elles sont décroissantes. Le logarithme a une asymptote verticale en $x=0$, qui marque la frontière exclue de son domaine.