Une inéquation compare des quantités sans affirmer qu'elles sont égales. Sa solution est généralement un ensemble de valeurs plutôt qu'un nombre unique. Les symboles stricts excluent l'égalité, tandis que les symboles larges l'admettent. Les manipulations algébriques situent la frontière; une droite graduée, un intervalle ou un tableau de signes indique ensuite de quel côté de cette frontière la comparaison initiale est satisfaite.
Une inéquation linéaire se résout comme une équation jusqu'à l'inversion du sens
Ajouter ou soustraire la même quantité aux deux membres conserve l'ordre. Multiplier ou diviser par un nombre positif le conserve également. Un facteur négatif inverse l'ordre parce qu'il inverse les positions sur la droite graduée. Par exemple, 2 est inférieur à 5, mais après multiplication des deux nombres par moins un, moins 2 devient supérieur à moins 5.
Une extrémité ouverte représente une comparaison stricte, comme . Une extrémité fermée représente . L'infini n'est jamais une borne incluse; les intervalles emploient donc toujours une parenthèse auprès de ou . Lorsque deux conditions doivent être vérifiées ensemble, prenez leur intersection. Lorsqu'une condition ou l'autre suffit, prenez leur réunion.
Exemple linéaire détaillé : isoler l'inconnue et vérifier la borne
Résolvez . Soustrayez 4 pour obtenir . La division par moins 3 inverse le sens de l'inégalité et donne . La valeur frontière, moins 2, rend les deux membres égaux et doit donc être exclue. En testant moins 3, le membre de gauche vaut 13, ce qui est supérieur à 10 et confirme le côté retenu.
Une inéquation quadratique pose une question de signe
Regroupez tous les termes dans un même membre et trouvez les zéros réels du trinôme obtenu. Ces zéros découpent la droite en intervalles sur lesquels un polynôme continu ne peut changer de signe sans passer par zéro. Une factorisation, la formule quadratique ou une courbe permet de repérer les racines. Testez ensuite une valeur dans chaque intervalle ou utilisez le sens d'ouverture de la parabole.
Pour , le polynôme se factorise en . La parabole est tournée vers le haut et se trouve sous l'axe horizontal uniquement entre ses deux racines. La solution est donc l'intervalle ouvert allant de 2 à 3. Si l'inégalité était large, les deux racines seraient incluses.
Observez comment un trinôme change de signe
Déplacez les curseurs. La courbe et le résumé des intervalles se mettent à jour ensemble.
Les dénominateurs et les racines carrées ajoutent des frontières au domaine
Dans une inéquation rationnelle, les valeurs qui annulent un dénominateur sont exclues, même si une expression simplifiée semble les accepter. Les zéros du numérateur et du dénominateur figurent tous dans le tableau de signes, mais seuls ceux du numérateur peuvent être inclus dans une solution large. Avec des racines d'indice pair, imposez d'abord que chaque radicande soit positif ou nul. Élever les deux membres au carré peut introduire des solutions étrangères, surtout si l'un des membres peut être négatif; remplacez donc chaque valeur candidate dans l'expression initiale.
La courbe vérifie l'intervalle sans remplacer l'algèbre
La courbe de se trouve au-dessus de l'axe horizontal sur les intervalles solutions. Elle constitue une vérification utile, mais la résolution de l'écran peut masquer une racine double ou un intervalle très étroit. Les racines exactes et les contraintes du domaine doivent déterminer l'écriture finale. Utilisez la vue interactive pour développer votre intuition, puis conservez les bornes symboliques dans la réponse.
