Ensimmäisen ja toisen asteen epäyhtälöt: menetelmät ja esimerkit

Epäyhtälö vertaa suureita väittämättä niitä yhtä suuriksi. Ratkaisu on tavallisesti yhden luvun sijasta arvojen joukko. Tiukat vertailumerkit sulkevat yhtäsuuruuden pois, ja yhtäsuuruuden sisältävät merkit hyväksyvät sen. Algebrallinen muokkaus paikantaa raja-arvon. Lukusuora, välin merkintä tai merkkikaavio osoittaa sen jälkeen, millä puolella rajaa alkuperäinen vertailu toteutuu. Pelkkä raja-arvo ei siis yleensä ole vastaus. Se jakaa lukusuoran osiin, joista yksi tai useampi kuuluu ratkaisujoukkoon alkuperäisen vertailumerkin mukaan.

Lineaarinen epäyhtälö toimii yhtälön tavoin, kunnes merkki kääntyy

Saman luvun lisääminen tai vähentäminen molemmilla puolilla säilyttää järjestyksen. Myös positiivisella luvulla kertominen tai jakaminen säilyttää sen. Negatiivinen tekijä kääntää järjestyksen, koska se kääntää paikat lukusuoralla. Esimerkiksi 2 on pienempi kuin 5, mutta kun molemmat kerrotaan miinus yhdellä, miinus 2 on suurempi kuin miinus 5.

Avoin päätepiste kuvaa tiukkaa vertailua, kuten $x<7$. Suljettu päätepiste kuvaa vertailua $x\le 7$. Ääretön ei koskaan ole väliin kuuluva päätepiste, joten välin merkinnässä käytetään aina sulkumerkkiä symbolin $\infty$ tai $-\infty$ vieressä. Kun kahden ehdon on toteuduttava yhtä aikaa, otetaan niiden leikkaus. Kun kumpi tahansa ehto riittää, otetaan niiden yhdiste.

Ratkaistu lineaarinen esimerkki: eristä muuttuja ja tarkista raja

Ratkaise $-3x+4>10$. Vähennä 4, jolloin saat $-3x>6$. Jakaminen miinus 3:lla kääntää vertailumerkin ja antaa $x<-2$. Raja-arvo miinus 2 tekee puolista yhtä suuret, joten se suljetaan pois. Kun kokeillaan arvoa miinus 3, vasen puoli on 13. Se on suurempi kuin 10 ja vahvistaa valitun puolen.

Toisen asteen epäyhtälö kysyy lausekkeen etumerkkiä

Siirrä kaikki termit samalle puolelle ja etsi syntyvän toisen asteen polynomin reaaliset nollakohdat. Nollakohdat jakavat lukusuoran väleihin, joilla jatkuva polynomi ei voi vaihtaa etumerkkiä kulkematta nollan kautta. Nollakohdat voi löytää tekijöihin jakamalla, toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla tai kuvaajasta. Testaa sitten yksi arvo jokaiselta väliltä tai päättele etumerkki paraabelin aukeamissuunnasta.

Polynomi $x^2-5x+6<0$ jakautuu tekijöihin $(x-2)(x-3)$. Ylöspäin aukeava paraabeli on vaaka-akselin alapuolella vain kahden juuren välissä. Ratkaisu on siis avoin väli luvusta 2 lukuun 3. Jos vertailu olisi pienempi tai yhtä suuri kuin nolla, molemmat juuret sisältyisivät ratkaisuun.

Tutki toisen asteen lausekkeen etumerkin vaihtumista

Siirrä liukusäätimiä. Kuvaaja ja välien yhteenveto päivittyvät yhdessä.

Kerroin aKerroin bKerroin c

Nimittäjät ja neliöjuuret lisäävät määrittelyjoukon rajoja

Rationaalisessa epäyhtälössä nimittäjän nollaavat arvot suljetaan pois, vaikka sievennetty lauseke näyttäisi hyväksyvän ne. Sekä osoittajan että nimittäjän nollakohdat kuuluvat merkkikaavioon, mutta vain osoittajan nollakohdat voidaan sisällyttää epätiukkaan ratkaisuun. Parillisen juuren tapauksessa jokaisen juurrettavan on ensin oltava epänegatiivinen. Molempien puolien korottaminen toiseen potenssiin voi tuoda vieraita ratkaisuja, varsinkin jos toinen puoli voi olla negatiivinen. Sijoita ehdokkaat siksi alkuperäiseen ehtoon.

Kuvaaja tarkistaa välin korvaamatta algebraa

Funktion $f\left(x\right)>0$ kuvaaja on vaaka-akselin yläpuolella ratkaisuväleillä. Kuvaaja on hyödyllinen tarkistus, mutta näytön tarkkuus voi kätkeä kaksinkertaisen juuren tai hyvin kapean välin. Tarkkojen juurten ja määrittelyjoukon rajoitusten pitää ratkaista lopullinen merkintä. Käytä vuorovaikutteista näkymää käsityksen rakentamiseen ja säilytä vastauksessa täsmälliset symboliset päätepisteet.