En ulikhet sammenligner størrelser uten å påstå at de er like. Løsningen er vanligvis en mengde verdier i stedet for ett tall. Strenge symboler utelukker likhet, mens inkluderende symboler tillater den. Algebraiske omforminger finner grenseverdien; en tallinje, intervallnotasjon eller et fortegnsskjema viser deretter på hvilken side av grensen den opprinnelige sammenligningen er sann.
Lineære ulikheter følger ligningsreglene til tegnet må snus
Å legge til eller trekke fra samme størrelse på begge sider bevarer rekkefølgen. Multiplikasjon eller divisjon med et positivt tall bevarer den også. En negativ faktor snur rekkefølgen fordi den snur plasseringene på tallinjen. For eksempel er 2 mindre enn 5, men når begge multipliseres med minus én, blir minus 2 større enn minus 5.
Et åpent endepunkt representerer en streng sammenligning som . Et lukket endepunkt representerer . Uendelig er aldri et inkludert endepunkt, så intervallnotasjon bruker alltid en parentes ved eller . Når to vilkår begge må gjelde, tar du snittet. Når det ene eller det andre vilkåret kan gjelde, tar du unionen.
Gjennomregnet lineært eksempel: isoler variabelen og kontroller grensen
Løs . Trekk fra 4 for å få . Divisjon med minus 3 snur sammenligningen og gir . Grenseverdien minus 2 gjør begge sider like og må derfor utelates. Når minus 3 prøves, blir venstresiden 13, som er større enn 10 og bekrefter den valgte siden.
En kvadratisk ulikhet er et spørsmål om fortegn
Flytt alle ledd til én side, og finn de reelle nullpunktene til det resulterende andregradspolynomet. Nullpunktene deler tallinjen i intervaller der et kontinuerlig polynom ikke kan skifte fortegn uten å gå gjennom null. Faktorisering, andregradsformelen eller en graf kan finne nullpunktene. Test deretter én verdi i hvert intervall, eller bruk retningen som parabelen åpner i.
For faktoriseres polynomet som . Parabelen åpner oppover og ligger bare under den vannrette aksen mellom de to røttene. Løsningen er derfor det åpne intervallet fra 2 til 3. Hvis sammenligningen var mindre enn eller lik null, skulle begge røttene tas med.
Se hvordan et andregradsuttrykk skifter fortegn
Flytt glidebryterne. Grafen og intervalloversikten oppdateres samtidig.
Nevnere og kvadratrøtter gir flere grenser for definisjonsmengden
I en rasjonal ulikhet er verdier som gjør en nevner lik null, utelukket, selv om et forkortet uttrykk ser ut til å tillate dem. Nullpunktene til både teller og nevner hører hjemme i fortegnsskjemaet, men bare tellerens nullpunkter kan tas med i en ikke-streng løsning. Ved røtter med partallsindeks må hver radikand først kreves ikke-negativ. Kvadrering av begge sider kan innføre fremmede løsninger, særlig hvis én side kan være negativ. Sett derfor kandidatene inn i det opprinnelige utsagnet.
En graf kontrollerer intervallet uten å erstatte algebraen
Grafen til ligger over den vannrette aksen i løsningsintervallene. Det gjør grafen til en nyttig kontroll, men skjermoppløsning kan skjule en dobbeltrot eller et svært smalt intervall. Eksakte røtter og begrensninger i definisjonsmengden skal avgjøre den endelige notasjonen. Bruk den interaktive visningen til å bygge forståelse, og behold symbolske endepunkter i svaret.
