Logaritmer: regneregler, likninger og basebytte

En logaritme svarer på et spørsmål om en eksponent. Utsagnet ${\log }_{b}x=y$ betyr at grunntallet $b$ opphøyd i eksponenten $y$ gir $x$. For reelle logaritmer må grunntallet være positivt og forskjellig fra én, og argumentet må være positivt. Vilkårene er en del av definisjonen, ikke valgfrie kontroller som kan legges til etter beregningen.

Grunntall, argument og logaritme har hver sin rolle

I ${\log }_{2}8=3$ er 2 grunntallet, 8 argumentet og 3 logaritmen. Likheten er sann fordi $2^3=8$. En logaritme kan være negativ: ${\log }_{10}\mathrm{0,01}=-2$. Den kan derimot ikke ha null eller et negativt reelt tall som argument. Logaritmen med grunntall ti kalles ofte tierlogaritmen, mens logaritmen med grunntall $e$ er den naturlige logaritmen og skrives $\ln$.

Notasjonen $\log$ uten synlig grunntall avhenger av sammenhengen. Mange skolebøker mener grunntall ti; i høyere matematikk og programvare kan den bety den naturlige logaritmen. Oppgi konvensjonen, eller bruk ${\log }_{10}$ og $\ln$ uttrykkelig når tvetydigheten har betydning.

Sammenlign en eksponentialfunksjon og logaritmen dens

Endre grunntallet. De to grafene speiles i linjen y = x fordi funksjonene opphever hverandre.

GrunntallValgt x-verdi

Produkt-, kvotient- og potensreglene følger av potensreglene

For positive argumenter er logaritmen til et produkt en sum, logaritmen til en kvotient en differanse, og en eksponent kan flyttes frem som faktor. Det finnes ingen tilsvarende regel som deler opp logaritmen til en sum. Generelt er ${\log }_b(x+y)$ ikke det samme som ${\log }_{b}x+{\log }_{b}y$.

Identitetene kan samle produkter eller utvide dem når en likning skal løses. Finn definisjonsmengden først. For eksempel krever en utvidelse av $\log (x-2)$ at $x>2$; algebra utført utenfor denne definisjonsmengden skaper ikke en gyldig logaritme.

Basebytte gjør alle gyldige grunntall beregnbare

Del logaritmer skrevet med det samme praktiske grunntallet: ${\log }_{b}x=\frac{\ln x}{\ln b}$. Nevneren er ikke null fordi $b\ne 1$. En kalkulator med bare $\ln$ og ${\log }_{10}$ kan derfor beregne ${\log }_{2}7$. Det valgte hjelpegrunntallet forkortes bort så lenge det samme brukes i teller og nevner.

Gjennomregnet eksempel: løs en sum av to logaritmer

Løs ${\log }_2(x-1)+{\log }_2(x-3)=3$. Argumentene krever først $x>3$. Samle summen til logaritmen av et produkt, skriv om til eksponentialform, og løs den resulterende andregradslikningen. Algebraen gir to kandidater, men bare én ligger i den opprinnelige definisjonsmengden.

Kandidatene er 5 og minus 1. Innsetting forkaster minus 1 fordi begge logaritmeargumentene ville være negative. Den eneste reelle løsningen er $x=5$, og kontrollen gir ${\log }_{2}4+{\log }_{2}2=2+1=3$.

Logaritmer opphever eksponentiell vekst

Når den ukjente står i en eksponent, kan en logaritme isolere den. I rentes-rente-likningen $M=C{(1+i)}^n$ er antall perioder $n=\frac{\log \left(\frac{M}{C}\right)}{\log (1+i)}$, forutsatt at alle nødvendige størrelser er positive, og at $i>-1$, med $i\ne 0$ for denne omformingen. Dette knytter logaritmer til eksponentiell vekst med rentes rente uten å gjøre det matematiske resultatet til en prognose.

På en graf er en eksponentialfunksjon og logaritmen med samme grunntall speilbilder i $y=x$. For grunntall større enn én er begge voksende; for grunntall mellom null og én er begge avtakende. Logaritmen har en loddrett asymptote ved $x=0$, som markerer den utelatte grensen for definisjonsmengden.