Logaritmo: Propriedades e Mudança de Base

Logaritmo é a operação inversa da exponenciação. Isto quer dizer que o logaritmo de um número y qualquer na base b, é um expoente x elevado a base b, de forma que bx produz como resultado y.

Índice do Artigo

Definição

Seja dois números reais positivos a e N , de forma que a ≠ 1, chamamos de logaritmo de N na base a, um expoente x, o qual elevado a a, produzimos N como resultado.

Onde:

Exemplo:

Condição de Existência

O logaN existe se, e somente se, as seguintes condições forem verdadeiras:

Logaritmo com Representação Especial

Temos duas representações especiais:

Consequência da Definição dos Logaritmos

A partir da definição dos logaritmos, em que a > 0, a ≠ 1, N > 0 e n um número real, podemos afirmar que:

Propriedades

Seja M > 0, a ≠ 1, a > 0 e N > 0, as seguintes propriedades para os logaritmos são verdadeiras:

Mudança de Base

Considere logab, tal que a > 0, a ≠ 1 e b > 0. Se quisermos trocar a base a para uma base c, em que c > 0 e c ≠ 1, devemos seguir a seguinte propriedade:

Logaritmo

Onde:

Exemplo:

Escreva log34 na base 4:

Logaritmo

Escreva log58 na base 2:

Logaritmo

Cologaritmo

Cologaritmo é um tipo especial de logaritmo, podemos expressá-lo da seguinte forma:

Também podemos dizer que:

Como resolver um logaritmo?

Resolver logaritmo parece bastante complicado, mas praticando torna-se mais fácil. Vamos demonstrar como encontrar o logaritmo de um número dado.

A definição diz que:

loga N = x ⇔ ax = N

Então, vamos aplicar em um exemplo para entendermos o que a definição diz.

Exemplo:

Calcule o log5125:

A definição nos diz que: log5 125 = x ⇔ 5x = 125. Ou seja, o logaritmo de 125 na base 5 é x, de forma que 5 elevado a x seja igual a 125. Então, temos que encontrar qual número elevamos a 5 que seja igual a 125.

Assim, para encontrar o valor de x, vamos fatorar o número 125.

mmc

Veja que dividimos 125 pelo seu MMC, ou seja, o menor número que poderíamos dividi-lo. O mesmo para os outros resultados. Como dividimos 3 vezes pelo número 5, então x = 3.

Logo, 5x = 53 = 125.

Portanto, log5 125 = 3.

Encontrou algum erro? Nos avise clicando aqui

Authorby Jean Carlos Novaes