Logaritmo

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Logaritmo é a operação inversa da exponenciação. Isto quer dizer que o logaritmo de um número y qualquer na base b, é um expoente x elevado a base b, de forma que bx produz como resultado y.

  • y = bx ⇔ x = logb(y)

Índice do Artigo

Definição de Logaritmo

Seja dois números reais positivos a e N , de forma que a ≠ 1, chamamos de logaritmo de N na base a, um expoente x, o qual elevado a a, produzimos N como resultado.

  • loga N ⇔ ax = N

Onde:

  • N: é o logaritmando ou antilogaritmo;
  • a: é a base;
  • x: é o logaritmo.

Exemplo:

  • log6 36 = 2, pois 62 = 36
  • log10 100 = 2, pois 102 = 100

Condição de Existência dos Logaritmos

O logaN existe se, e somente se, as seguintes condições forem verdadeiras:

  • N > 0;
  • a > 0;
  • a ≠ 1.

Logaritmo com Representação Especial

Temos duas representações especiais do logaritmo:

  • Logaritmo decimal: log a = log10a, quer dizer que se não explicitamos a base, a base do logaritmo é 10.
  • Logaritmo neperiano: ln a = logea, em que e = 2,71828182… sendo um número irracional, conhecido também como número de Euler.

Consequência da Definição dos Logaritmos

A partir da definição dos logaritmos, em que a > 0, a ≠ 1, N > 0 e n um número real, podemos afirmar que:

  • loga1 = 0;
  • logaa = 1;
  • logaan = n;
    • Exemplo: log225 = 5, pode cortar o logaritmo e o resultado é o expoente.
  • alogaN = N;
    • Exemplo: 3log34 = 4, pode cortar o logaritmo e a base da potência.

Propriedades dos Logaritmos

Seja M > 0, a ≠ 1, a > 0 e N > 0, as seguintes propriedades para os logaritmos são verdadeiras:

  • loga(M . N) = logaM + logaN;
  • loga(M/N) = logaM – logaN;
  • loga(Nm) = m . logaN ∀m ∈ R;

Mudança de Base

Considere o logaritmo logab, tal que a > 0, a ≠ 1 e b > 0. Se quisermos trocar a base a para uma base c, em que c > 0 e c ≠ 1, devemos seguir a seguinte propriedade:

Logaritmo

Onde:

  • logca ≠ 0, isto é, a ≠ 1.

Exemplo:

Escreva log34 na base 4:

Logaritmo

Escreva log58 na base 2:

Logaritmo

Cologaritmo

Cologaritmo é um tipo especial de logaritmo, podemos expressá-lo da seguinte forma:

  • cologab = – logab

Também podemos dizer que:

  • cologab = loga(1/b)

Como resolver um logaritmo?

Resolver logaritmo parece bastante complicado, mas praticando torna-se mais fácil. Vamos demonstrar como encontrar o logaritmo de um número dado.

A definição de logaritmo diz que:

loga N = x ⇔ ax = N

Então, vamos aplicar em um exemplo para entendermos o que a definição diz.

Exemplo:

Calcule o log5125:

A definição nos diz que: log5 125 = x ⇔ 5x = 125. Ou seja, o logaritmo de 125 na base 5 é x, de forma que 5 elevado a x seja igual a 125. Então, temos que encontrar qual número elevamos a 5 que seja igual a 125.

Assim, para encontrar o valor de x, vamos fatorar o número 125.

Logaritmo

Veja que dividimos 125 pelo seu MMC, ou seja, o menor número que poderíamos dividi-lo. O mesmo para os outros resultados. Como dividimos 3 vezes pelo número 5, então x = 3.

Logo, 5x = 53 = 125.

Portanto, log5 125 = 3.


Jean Carlos Novaes by