Potenciação: Entenda Como Funciona e Suas Propriedades Operatórias

Potenciação é a forma de abreviar na multiplicação uma sequência de fatores iguais. Dessa forma, quando multiplicamos um número sucessivas vezes podemos abreviar elevando-o a quantidade de vezes que o número é multiplicado.

    \[a^b = c\]

 

Chamamos a de base, b de expoente e c de potência.

 

A base nesse caso é o número que se repete, o expoente é a quantidade de vezes que esse número se repetiu e a potência é o resultado.

Exemplo:

Seja a multiplicação 3 x 3 x 3 x 3, temos um sequência do número 3 multiplicado 4 vezes. Assim, podemos simplificar da seguinte forma:

    \[3^4 = 81\]

Leia-se: três elevado a quatro é igual a oitenta e um

 

onde, 3 é o número multiplicado e 4 a quantidade de vezes que ele foi multiplicado.

 

Mais exemplos de potenciação

  • 4³ = 4 x 4 x 4 = 64
  • 5² = 5 x 5 = 25
  • 6¹ = 6

Propriedades da potenciação

  1. Qualquer número natural elevado ao expoente 1 é igual ao próprio número.
    Exemplo:

        \[5^1 = 5\]

  2. Qualquer número natural não-nulo elevado ao expoente 0 é igual a 1.
    Exemplo:

        \[3^0 = 1\]

  3. Qualquer potência que possuem na base o número 1 é igual a 1.
    Exemplo:

        \[1^{100} = 1\]

  4. Qualquer potência que tem na base o número 10, o resultado é o número 1 seguido da quantidade de zeros de acordo com o valor do expoente.
    Exemplo:

        \[10^5 = 100000\]

      Veja que a quantidade de zeros foi definida pelo expoente 5.

  5. Um potência com expoente negativo indica que temos uma inversão entre o numerador com o denominador.
    Exemplo:

        \[5^{-3} = \frac{1}{5^3}\]

    Veja que a potência foi para o numerador sem o sinal, e o denominador representado pelo número 1 (oculto) vai para o numerador.

  6. Uma potência negativa no denominador se transforma em numerador se trocarmos o sinal da potência.
    Exemplo:

        \[\frac{1}{5^{-2}} = 5^2\]

        \[\frac{3}{2^{-3}} = 3 \times {2^3}\]

 

Propriedades operatórias da potenciação

É importante conhecer as propriedades operatórias para auxiliar e simplificar os cálculos envolvendo potenciação.

 

Produto de potências de mesma base

Ao multiplicar duas ou mais potências, devemos proceder da seguinte forma: conservar a base e somar os expoentes.

Exemplo:

    \[{5^2} \times {5^3} = 5^{2+3}\]

 

Divisão de potências de mesma base

Ao dividirmos potências não-nulas de mesma base, devemos proceder da seguinte forma: conservar a base e subtrair os expoentes.

Exemplo:

    \[\frac{5^4}{5^2} = 5^{4-2} = {5^2}\]

 

Base negativa e expoente ímpar

Quando a base é negativa e o expoente é ímpar o resultado será negativo, veja o jogo de sinais em subtração

Exemplo:

    \[(-2)^3 = -8\]

Base negativa e expoente par

Quando a base é negativa e o expoente é par o resultado é positivo, veja o jogo de sinais em subtração

Exemplo:

    \[(-5)^2 = 25\]

Potência de potência

Neste caso devemos conservar a base e multiplicar os expoentes.
Exemplo:

    \[{(4^3)}^2 = 4^{3 \times 2} = 4^6\]

 

Potência de um produto

Devemos atribuir o expoente aos fatores do produto.
Exemplo:

    \[(2 \times 3)^2 = (2^2 \times 3^2) = 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 36\]

 

Potência de divisão

Uma divisão com expoente devemos elevar tanto o numerador quanto denominador ao expoente.

Exemplo:

    \[(\frac{5}{3})^3 = (\frac{5}{3} \times \frac{5}{3} \times \frac{5}{3}) = \frac{5^3}{3^3}\]

 

Multiplicação de potência com o mesmo expoente

Quando multiplicarmos uma potência com o mesmo expoente podemos conservar o expoente e multiplicar as bases.

Exemplo:

    \[3^2 \times 2^2 = (3 \times 2)^2\]

Veja mais…