Potenciação

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Potenciação ou exponenciação é a forma de abreviar a multiplicação de uma sequência de fatores iguais. Dessa forma, quando multiplicamos um número sucessivas vezes podemos abreviar elevando-o a quantidade de vezes que o número é multiplicado.

Índice do Artigo

Definição de potenciação

Seja um número real a e um número natural n, com n > 1, chamamos de potência de base a e expoente n o número an, isto é, o produto de n fatores iguais a a.

definição de potenciação
Definição de potenciação

Exemplo:

a² = a.a, com n = 2

a³ = a.a.a; com n = 3

a5 = a.a.a.a.a, com n = 5

Chamamos a de base e n de expoente e a multiplicação sucessiva após a igualdade chamamos de potência.

A base nesse caso é o número que se repete, o expoente é a quantidade de vezes que esse número se repetiu e a potência é o resultado.

Potência com expoente negativo

Seja a um número real diferente de zero, e n um número natural, chamamos de potência de base a e expoente -n o número a-n, que é o número inverso de an.

definição de potenciação com expoente negativo
Potência com expoente negativo

Exemplo:

Seja a multiplicação 3 x 3 x 3 x 3, temos uma sequência do número 3 multiplicado 4 vezes. Assim, podemos simplificar da seguinte forma:

potenciação exemplo

Leia-se: três elevado a quatro é igual a oitenta e um

onde, 3 é o número multiplicado e 4 a quantidade de vezes que ele foi multiplicado.

Agora com expoente negativo.

potenciação com expoente negativo

Outros tipos de potência

Expoente inteiro maior que 1.

Neste caso é o produto de vários fatores iguais à base de acordo com quantas forem as unidades do expoente.

Exemplo:

  • 4³ = 4 x 4 x 4 = 64
  • 5² = 5 x 5 = 25
  • 6¹ = 6

Expoente igual a 1.

Neste caso, todas as potências com expoente 1 é igual a base. Logo:

a¹ = a

Exemplo:

2¹ = 2

25¹ = 25

Expoente igual a zero.

Neste caso, todas as potências com expoente igual a zero é igual a 1. Logo:

a0 = 1

Exemplo:

30 = 1

80 = 1

Casos particulares de potenciação:

Sendo n um número inteiro, podemos ter:

  • a = 0 e n > 0 ⇒ an = 0
  • a = 0 e n < 0 ⇒ não existe an ∈ R
  • a > 0 ⇒ an > 0
  • a < 0 e n par ⇒ an > 0
  • a < 0 e n ímpar ⇒ an < 0

Propriedades da potenciação

Considerando as bases a e b números reais, e os números naturais para m e n. Temos as seguintes propriedades:

Qualquer número real elevado ao expoente natural 1 é igual ao próprio número.

Propriedades da potenciação

Exemplo: 5¹ = 5

Qualquer número real não-nulo elevado ao expoente natural 0 é igual a 1.


Exemplo: 30 = 1

Qualquer potência que possuem na base o número 1 é igual a 1.

Exemplo: 1100 = 1

Qualquer potência que tem na base o número 10, o resultado é o número 1 seguido da quantidade de zeros de acordo com o valor do expoente.

Exemplo: 105 = 100000

Veja que a quantidade de zeros foi definida pelo expoente 5.

Um potência com expoente negativo indica que temos uma inversão entre o numerador com o denominador.

Propriedades da potenciação

Veja que a potência foi para o denominador sem o sinal, e o numerador é representado pelo número 1 (oculto) do denominador.

Uma potência negativa no denominador é equivalente ao numerador vezes o denominador com o sinal da potência trocado.

Exemplo:

Propriedades da potenciação

e

Propriedades da potenciação

No primeiro caso o 1 (um) pode ser omitido porque não altera o valor do produto, 1 x 5² = 5² = 25.

Propriedades operatórias da potenciação

É importante conhecer as propriedades operatórias para auxiliar e simplificar os cálculos envolvendo potenciação.

Produto de potências de mesma base

Ao multiplicar duas ou mais potências de mesma base, devemos proceder da seguinte forma: conservar a base e somar os expoentes.

am.an = am + n

Exemplo: 52.53 = 52 + 3

Divisão de potências de mesma base

Ao dividirmos potências não-nulas de mesma base, devemos proceder da seguinte forma: conservar a base e subtrair os expoentes.

divisão de potencia

Exemplo:

divisão de potencia

Base negativa e expoente ímpar

Quando a base é negativa e o expoente é ímpar o resultado será negativo, veja o jogo de sinais em subtração.

Exemplo: (-2)3 = -8

Base negativa e expoente par

Quando a base é negativa e o expoente é par o resultado é positivo, veja o jogo de sinais em subtração.

Exemplo: (-5)2 = 25

Potência de potência

Neste caso devemos conservar a base e multiplicar os expoentes.

Potência de potência

Exemplo:

Potência de potência

Potência de um produto

Devemos atribuir o expoente aos fatores do produto.

(a . b)n = (an . bn)

  • Exemplo: (2 . 3)2 = (22 . 32) = 2 . 2 . 3 . 3 = 36

Divisão de potências de mesmo expoente

Uma divisão com expoente devemos elevar tanto o numerador quanto o denominador ao expoente.

Divisão de potências de mesmo expoente

Exemplo:

Divisão de potências de mesmo expoente

Multiplicação de potências com o mesmo expoente

Quando multiplicarmos uma potência com o mesmo expoente podemos conservar o expoente e multiplicar as bases.

(an . bn) = (a . b)n =

Exemplo: (32 . 22) = (3 . 2)2

Observação:

As propriedades que foram apresentadas acima também servem para os expoentes m e n inteiros.

Exemplos:

23 . 2-2 = 23 + (-2) = 2¹

5-3 . 2-3 = (5 . 2)-3 = 10-3

Divisão de potências de mesmo expoente
Divisão de potências de mesmo expoente
Divisão de potências de mesmo expoente

Casos especiais de potências

  1. (-a)n e -an

    Essas potências (-a)n e -an geralmente apresentam resultados diferentes, pois:

    (-a)n = (-a) . (-a) . (-a) . … . (-a) (n vezes)

    -an = – (a . a . a . … . a) (n vezes)

    Exemplos:

    • (-2)² = (-2) . (-2) = 4
    • -2² = – (2 . 2) = – 4
    • (-2)³ = (-2) . (-2) . (-2) = -8
    • -2³ = – (2 . 2 . 2) = -8

      O uso dos parênteses indica que o sinal pertence ao número e deve ser multiplicado junto.

  2. (am)n e amn

    Essas potências (am)n e amn geralmente apresentam resultados diferentes, pois:

    (am)n = (am) . (am) . … . (am) (n vezes)

    e

    am . m . … . m (n vezes)

    Exemplos:

    • (5²)³ = (5²) . (5²) . (5²) = 52.3 = 56
    • 523 = 52 . 2 . 2 = 58

Potenciação é isso.

Bons estudos e boa sorte!

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