Potenciação

Potenciação ou exponenciação é a forma de abreviar a multiplicação de uma sequência de fatores iguais. Dessa forma, quando multiplicamos um número sucessivas vezes podemos abreviar elevando-o a quantidade de vezes que o número é multiplicado.

Definição de potenciação

Seja um número real a e um número natural n, com n > 1, chamamos de potência de base a e expoente n o número aⁿ, isto é, o produto de n fatores iguais a a.

Exemplo:

a² = a.a, com n = 2

a³ = a.a.a; com n = 3

a⁵ = a.a.a.a.a, com n = 5

Chamamos a de base e n de expoente e a multiplicação sucessiva após a igualdade chamamos de potência.

A base nesse caso é o número que se repete, o expoente é a quantidade de vezes que esse número se repetiu e a potência é o resultado.

Potência com expoente negativo

Seja a um número real diferente de zero, e n um número natural, chamamos de potência de base a e expoente -n o número a^-n, que é o número inverso de aⁿ.

Exemplo:

Seja a multiplicação 3 x 3 x 3 x 3, temos uma sequência do número 3 multiplicado 4 vezes. Assim, podemos simplificar da seguinte forma:

Leia-se: três elevado a quatro é igual a oitenta e um

onde, 3 é o número multiplicado e 4 a quantidade de vezes que ele foi multiplicado.

Agora com expoente negativo.

Outros tipos de potência

Expoente inteiro maior que 1.

Neste caso é o produto de vários fatores iguais à base de acordo com quantas forem as unidades do expoente.

Exemplo:

• 4³ = 4 x 4 x 4 = 64
• 5² = 5 x 5 = 25
• 6¹ = 6

Expoente igual a 1.

Neste caso, todas as potências com expoente 1 é igual a base. Logo:

a¹ = a

Exemplo:

2¹ = 2

25¹ = 25

Expoente igual a zero.

Neste caso, todas as potências com expoente igual a zero é igual a 1. Logo:

a⁰ = 1

Exemplo:

3⁰ = 1

8⁰ = 1

Casos particulares de potenciação:

Sendo n um número inteiro, podemos ter:

• a = 0 e n > 0 ⇒ aⁿ = 0
• a = 0 e n < 0 ⇒ não existe aⁿ ∈ R
• a > 0 ⇒ aⁿ > 0
• a < 0 e n par ⇒ aⁿ > 0
• a < 0 e n ímpar ⇒ aⁿ < 0

Propriedades da potenciação

Considerando as bases a e b números reais, e os números naturais para m e n. Temos as seguintes propriedades:

1. Qualquer número real elevado ao expoente natural 1 é igual ao próprio número.

   

   Exemplo: 5¹ = 5

2. Qualquer número real não-nulo elevado ao expoente natural 0 é igual a 1.

   

   Exemplo: 3⁰ = 1

3. Qualquer potência que possuem na base o número 1 é igual a 1.

   

   Exemplo: 1¹⁰⁰ = 1

4. Qualquer potência que tem na base o número 10, o resultado é o número 1 seguido da quantidade de zeros de acordo com o valor do expoente.

   • Exemplo: 10⁵ = 100000

     Veja que a quantidade de zeros foi definida pelo expoente 5.

5. Um potência com expoente negativo indica que temos uma inversão entre o numerador com o denominador.

   

   Veja que a potência foi para o denominador sem o sinal, e o numerador é representado pelo número 1 (oculto) do denominador.

6. Uma potência negativa no denominador é equivalente ao numerador vezes o denominador com o sinal da potência trocado.

   Exemplo:

   

   e

   

   No primeiro caso o 1 (um) pode ser omitido porque não altera o valor do produto, 1 x 5² = 5² = 25.

Propriedades operatórias da potenciação

É importante conhecer as propriedades operatórias para auxiliar e simplificar os cálculos envolvendo potenciação.

Produto de potências de mesma base

Ao multiplicar duas ou mais potências de mesma base, devemos proceder da seguinte forma: conservar a base e somar os expoentes.

a^m.aⁿ = a^{m + n}

Exemplo: 5².5³ = 5^{2 + 3}

Divisão de potências de mesma base

Ao dividirmos potências não-nulas de mesma base, devemos proceder da seguinte forma: conservar a base e subtrair os expoentes.

Exemplo:

Base negativa e expoente ímpar

Quando a base é negativa e o expoente é ímpar o resultado será negativo, veja o jogo de sinais em subtração.

Exemplo: (-2)³ = -8

Base negativa e expoente par

Quando a base é negativa e o expoente é par o resultado é positivo, veja o jogo de sinais em subtração.

Exemplo: (-5)² = 25

Potência de potência

Neste caso devemos conservar a base e multiplicar os expoentes.

Exemplo:

Potência de um produto

Devemos atribuir o expoente aos fatores do produto.

(a . b)ⁿ = (aⁿ . bⁿ)

• Exemplo: (2 . 3)² = (2² . 3²) = 2 . 2 . 3 . 3 = 36

Divisão de potências de mesmo expoente

Uma divisão com expoente devemos elevar tanto o numerador quanto o denominador ao expoente.

• Exemplo:

  

  
  

Multiplicação de potências com o mesmo expoente

Quando multiplicarmos uma potência com o mesmo expoente podemos conservar o expoente e multiplicar as bases.

(aⁿ . bⁿ) = (a . b)ⁿ =

Exemplo: (3² . 2²) = (3 . 2)²

Observação:

As propriedades que foram apresentadas acima também servem para os expoentes m e n inteiros.

Exemplos:

• 2³ . 2^-2 = 2^{3 + (-2)} = 2¹

• 5^-3 . 2^-3 = (5 . 2)^-3 = 10^-3

• 

• 

• 

Casos especiais de potências

1. (-a)ⁿ e -aⁿ

   Essas potências (-a)ⁿ e -aⁿ geralmente apresentam resultados diferentes, pois:

   (-a)ⁿ = (-a) . (-a) . (-a) . … . (-a) (n vezes)

   -aⁿ = - (a . a . a . … . a) (n vezes)

   Exemplos:

   • (-2)² = (-2) . (-2) = 4
   • -2² = - (2 . 2) = - 4
   • (-2)³ = (-2) . (-2) . (-2) = -8
   • -2³ = - (2 . 2 . 2) = -8

   O uso dos parênteses indica que o sinal pertence ao número e deve ser multiplicado junto.

2. (a^m)ⁿ e a^mn

   Essas potências (a^m)ⁿ e a^mn geralmente apresentam resultados diferentes, pois:

   (a^m)ⁿ = (a^m) . (a^m) . … . (a^m) (n vezes)

   e

   a^{m . m . … . m (n vezes)}

   Exemplos:

   • (5²)³ = (5²) . (5²) . (5²) = 5^2.3 = 5⁶
   • 5²³ = 5^{2 . 2 . 2} = 5⁸

Potenciação é isso. Curta, favorite e compartilhe o conhecimento! 😉

Bons estudos e boa sorte! 😄

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Radiciação

Tabuada

Porcentagem

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Autor

by Jean Carlos Novaes

Formado em Ciência da Computação na UFBA. Depois de ficar sete anos tentando cursar uma universidade, conseguiu entrar na UFBA prestando um dos mais concorridos vestibulares do país.
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