Potenciação: Propriedades e Exemplos

Potenciação ou exponenciação é a forma de abreviar a multiplicação de uma sequência de fatores iguais.

Dessa forma, quando multiplicamos um número sucessivas vezes, podemos abreviar elevando-o a quantidade de vezes que o número é multiplicado.

Índice do Artigo

Definição de potenciação

Seja um número real a e um número natural n, com n > 1, chamamos de potência de base a e expoente n o número an, isto é, o produto de n fatores iguais a a.

definição de potenciação

Exemplo:

Chamamos a de base e n de expoente, e a multiplicação sucessiva após a igualdade chamamos de potência.

A base nesse caso é o número que se repete, o expoente é a quantidade de vezes que esse número se repetiu e a potência é o resultado.

Potência com expoente negativo

Seja a um número real diferente de zero, e n um número natural, chamamos de potência de base a e expoente -n o número a-n, que é o número inverso de an.

definição de potenciação com expoente negativo

Exemplo:

Seja a multiplicação 3 x 3 x 3 x 3, temos uma sequência do número 3 multiplicado 4 vezes. Assim, podemos simplificar da seguinte forma:

potenciação exemplo

Leia-se: três elevado a quatro é igual a oitenta e um

onde, 3 é o número multiplicado e 4 a quantidade de vezes que ele foi multiplicado.

Agora com expoente negativo.

potenciação com expoente negativo

Outros tipos de potência

Expoente inteiro maior que 1.

Neste caso é o produto de vários fatores iguais à base de acordo com quantas forem as unidades do expoente.

Exemplo:

Expoente igual a 1.

Neste caso, todas as potências com expoente 1 é igual a base. Logo:

Exemplo:

Expoente igual a zero.

Neste caso, todas as potências com expoente igual a zero é igual a 1. Logo:

Exemplo:

Casos particulares de potenciação:

Sendo n um número inteiro, podemos ter:

Propriedades da potenciação

Considerando as bases a e b números reais, e os números naturais para m e n. Temos as seguintes propriedades:

Qualquer número real elevado ao expoente natural 1 é igual ao próprio número.

Propriedades da potenciação

Exemplo: 5¹ = 5

Qualquer número real não-nulo elevado ao expoente natural 0 é igual a 1.

Exemplo: 30 = 1

Qualquer potência que possui na base o número 1 é igual a 1.

Exemplo: 1100 = 1

Qualquer potência que tem na base o número 10, o resultado é o número 1 seguido da quantidade de zeros, de acordo com o valor do expoente.

Exemplo: 105 = 100000

Veja que a quantidade de zeros foi definida pelo expoente 5.

Um potência com expoente negativo indica que temos uma inversão entre o numerador com o denominador.

Propriedades da potenciação

Veja que a potência foi para o denominador sem o sinal, e o numerador é representado pelo número 1 (oculto) do denominador.

Uma potência negativa no denominador é equivalente ao numerador vezes o denominador com o sinal da potência trocado.

Exemplo:

Propriedades da potenciação

e

Propriedades da potenciação

No primeiro caso o 1 (um) pode ser omitido porque não altera o valor do produto, 1 x 5² = 5² = 25.

Propriedades operatórias da potenciação

É importante conhecer as propriedades operatórias para auxiliar e simplificar os cálculos envolvendo potenciação.

Produto de potências de mesma base

Ao multiplicar duas ou mais potências de mesma base, devemos proceder da seguinte forma: conservar a base e somar os expoentes.

Exemplo: 52.53 = 52 + 3

Divisão de potências de mesma base

Ao dividirmos potências não-nulas de mesma base, devemos proceder da seguinte forma: conservar a base e subtrair os expoentes.

divisão de potencia

Exemplo:

divisão de potencia

Base negativa e expoente ímpar

Quando a base é negativa e o expoente é ímpar o resultado será negativo, veja o jogo de sinais em subtração.

Exemplo: (-2)3 = -8

Base negativa e expoente par

Quando a base é negativa e o expoente é par o resultado é positivo, veja o jogo de sinais em subtração.

Exemplo: (-5)2 = 25

Potência de potência

Neste caso, devemos conservar a base e multiplicar os expoentes.

Potência de potência

Exemplo:

Potência de potência

Potência de um produto

Devemos atribuir o expoente aos fatores do produto.

Divisão de potências de mesmo expoente

Numa divisão com expoente devemos elevar tanto o numerador quanto o denominador ao expoente.

Divisão de potências de mesmo expoente

Exemplo:

Divisão de potências de mesmo expoente

Multiplicação de potências com o mesmo expoente

Quando multiplicarmos uma potência com o mesmo expoente podemos conservar o expoente e multiplicar as bases.

Observação:

As propriedades que foram apresentadas acima também servem para os expoentes m e n inteiros.

Exemplos:

23 . 2-2 = 23 + (-2) = 2¹

5-3 . 2-3 = (5 . 2)-3 = 10-3

Divisão de potências de mesmo expoente
Divisão de potências de mesmo expoente
Divisão de potências de mesmo expoente

Casos especiais de potências

  1. (-a)n e -an
    • Essas potências (-a)n e -an geralmente apresentam resultados diferentes, pois:
      • (-a)n = (-a) . (-a) . (-a) . … . (-a) (n vezes)
      • -an = – (a . a . a . … . a) (n vezes)
      • Exemplos:
        • (-2)² = (-2) . (-2) = 4
        • -2² = – (2 . 2) = – 4
        • (-2)³ = (-2) . (-2) . (-2) = -8
        • -2³ = – (2 . 2 . 2) = -8
      • O uso dos parênteses indica que o sinal pertence ao número e deve ser multiplicado junto.
  2. (am)n e amn
    • Essas potências (am)n e amn geralmente apresentam resultados diferentes, pois:
      • (am)n = (am) . (am) . … . (am) (n vezes) e am . m . … . m (n vezes)

Exemplos:

Potenciação é isso.

Bons estudos e boa sorte!

Veja mais…

Radiciação

Tabuada

Porcentagem

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Authorby Jean Carlos Novaes