Logaritmi: proprietà, equazioni e cambiamento di base

Un logaritmo risponde a una domanda sull'esponente. L'uguaglianza ${\log }_{b}x=y$ significa che elevando la base $b$ all'esponente $y$ si ottiene $x$. Nei numeri reali la base deve essere positiva e diversa da uno, mentre l'argomento deve essere positivo. Sono condizioni della definizione, non controlli facoltativi da aggiungere dopo il calcolo.

Base, argomento e logaritmo hanno ruoli distinti

In ${\log }_{2}8=3$, 2 è la base, 8 è l'argomento e 3 è il logaritmo, perché $2^3=8$. Un logaritmo può essere negativo: ${\log }_{10}\mathrm{0,01}=-2$. Non esiste invece, nei reali, il logaritmo di zero o di un numero negativo. Il logaritmo in base dieci è detto decimale; quello in base $e$ è il logaritmo naturale e si scrive $\ln$.

La notazione $\log$ senza base dipende dal contesto. Molti testi scolastici intendono la base dieci; in matematica superiore e in alcuni programmi può indicare il logaritmo naturale. Quando la distinzione è importante, conviene scrivere esplicitamente ${\log }_{10}$ oppure $\ln$.

Confronta un'esponenziale e il suo logaritmo

Cambia la base: le due curve sono simmetriche rispetto alla retta y = x, perché le funzioni sono inverse.

BaseValore x selezionato

Le regole derivano dalle proprietà delle potenze

Per argomenti positivi, il logaritmo di un prodotto diventa una somma, quello di un quoziente una differenza e un esponente può essere portato davanti come fattore. Non esiste una regola analoga per la somma: in generale ${\log }_b(x+y)$ non è uguale a ${\log }_{b}x+{\log }_{b}y$.

Le identità permettono di condensare prodotti o di espanderli durante la risoluzione di un'equazione. Prima si stabilisce sempre il dominio. Per esempio, l'espressione $\log (x-2)$ richiede $x>2$; i passaggi algebrici eseguiti fuori da quel dominio non creano un logaritmo valido.

Il cambiamento di base rende calcolabile ogni base valida

Si dividono logaritmi espressi nella stessa base comoda: ${\log }_{b}x=\frac{\ln x}{\ln b}$. Il denominatore non è zero perché $b\ne 1$. Una calcolatrice con i soli tasti $\ln$ e ${\log }_{10}$ può così valutare ${\log }_{2}7$. La base ausiliaria si elimina, purché sia la stessa nel numeratore e nel denominatore.

Esempio svolto: somma di due logaritmi

Risolviamo ${\log }_2(x-1)+{\log }_2(x-3)=3$. Gli argomenti impongono anzitutto $x>3$. Si riunisce la somma nel logaritmo di un prodotto, si passa alla forma esponenziale e si risolve l'equazione quadratica. L'algebra restituisce due candidati, ma uno solo appartiene al dominio iniziale.

I candidati sono 5 e meno 1. Sostituendo, si scarta meno 1 perché entrambi gli argomenti sarebbero negativi. L'unica soluzione reale è $x=5$, e il controllo dà ${\log }_{2}4+{\log }_{2}2=2+1=3$.

I logaritmi invertono la crescita composta

Quando l'incognita compare in un esponente, un logaritmo può isolarla. Nella relazione dell'interesse composto $M=C{(1+i)}^n$, il numero di periodi è $n=\frac{\log \left(\frac{M}{C}\right)}{\log (1+i)}$, se le quantità richieste sono positive e $i>-1$, con $i\ne 0$ perché la divisione sia definita. Il legame con la crescita composta è matematico e non trasforma il risultato in una previsione.

Sul grafico, una funzione esponenziale e il logaritmo della stessa base sono simmetrici rispetto a $y=x$. Per basi maggiori di uno entrambe crescono; per basi comprese tra zero e uno entrambe decrescono. Il logaritmo ha un asintoto verticale in $x=0$, che segna il confine escluso del dominio.