Bei einfacher Verzinsung werden die Zinsen während der gesamten angegebenen Laufzeit aus dem ursprünglichen Kapital berechnet. Bei konstantem Zinssatz ist der Zuwachs in jeder gleich langen Periode daher gleich. Das Endkapital ist eine lineare Funktion der Zeit. Dieses Modell ist in einführenden Aufgaben und manchen kurzfristigen Vereinbarungen üblich. Ein realer Vertrag kann jedoch Gebühren, Zahlungspläne und Zinstagsregeln enthalten, die in der Grundformel nicht vorkommen.
Die drei Größen in der Formel für einfache Zinsen
Sei das Anfangskapital, der Zinssatz pro Periode und die Anzahl der Perioden. Der Zinsbetrag ist ihr Produkt. Das Endkapital ergibt sich aus Anfangskapital plus Zinsen. Entscheidend ist, 2 % als 0,02 zu schreiben. Wer 2 statt 0,02 einsetzt, macht den Zinssatz hundertmal zu groß.
Die Formel lässt sich umstellen, wenn eine andere Größe unbekannt ist. Teile den Zinsbetrag durch , um das Anfangskapital zu erhalten, durch , um den Periodenzinssatz zu bestimmen, oder durch , um die Periodenzahl zu finden. Diese Divisionen setzen einen von null verschiedenen Nenner und konsistente Einheiten voraus.
Rechenbeispiel: 1.500 bei 2 % pro Monat für acht Monate
Monatszinssatz und Laufzeit stehen bereits in passenden Einheiten. Multipliziere 1.500 mit 0,02 und mit 8. Der Zinsbetrag beträgt 240. Zusammen mit dem ursprünglichen Kapital ergibt das ein Endkapital von 1.740. Die monatlichen Zinsen sind stets 30, weil in jeder Periode die ursprünglichen 1.500 als Grundlage dienen.
Eine direkte Kontrolle verwendet die Endkapitalformel: . Wäre der Zinssatz jährlich angegeben, müsste die Laufzeit von acht Monaten nach der in Aufgabe oder Vertrag genannten Konvention in einen Jahresanteil umgerechnet werden.
Lineares Wachstum und Zinseszins vergleichen
Verwende für beide Modelle dieselben Eingaben und beobachte, wann sich die Kontostände voneinander entfernen.
Zeit umzurechnen bedeutet nicht, einen Zinssatz zu erfinden
Bei 12 % einfachen Zinsen pro Jahr werden sechs Monate häufig als ein halbes Jahr modelliert. Das ergibt 6 % des Anfangskapitals. Für Tage verwenden manche Vereinbarungen die tatsächliche Tageszahl geteilt durch 365 oder 366. Andere arbeiten mit kaufmännischen Konventionen wie Monaten zu 30 Tagen und einem Jahr zu 360 Tagen. Diese Regeln liefern unterschiedliche Ergebnisse. Die Formel entscheidet sich nicht selbst für eine davon; die Quelle des Zinssatzes muss die Konvention festlegen.
Auch die Umrechnung eines Zinssatzes hängt von der Zinsart ab. Bei einfacher Verzinsung folgt eine proportionale Umrechnung direkt aus der Zeit, weil der Zinsbetrag linear wächst. Bei Zinseszins werden äquivalente Zinssätze durch Potenzen bestimmt. Einen effektiven Jahreszinssatz für Zinseszins durch 12 zu teilen, ergibt im Allgemeinen keinen äquivalenten effektiven Monatszinssatz.
Einfache Zinsen und Zinseszins beschreiben verschiedene Modelle
Bei einem Anfangskapital von 1.000 und einem Jahreszinssatz von 5 % werden bei einfacher Verzinsung jedes Jahr 50 hinzugefügt. Nach vier Jahren beträgt das Endkapital 1.200. Beim Zinseszins wird jedes Jahr mit 1,05 multipliziert; vor dem Runden erreicht das Kapital 1.215,50625. Die Zinsen im ersten Jahr stimmen überein. Danach unterscheiden sie sich, weil beim Zinseszins frühere Zinsen in die Grundlage der nächsten Periode eingehen.
Verwende Zinseszins nur dann, wenn Zinsen tatsächlich dem Kontostand zugeschlagen werden und zur Berechnungsgrundlage der nächsten Periode gehören. Keines der beiden Modelle berücksichtigt automatisch regelmäßige Rückzahlungen, veränderliche Zinssätze, Mahnkosten, Steuern oder Inflation.
Laufzeit oder Zinssatz brauchen eine realistische Deutung
In einer Gleichung für einfache Zinsen kommt die Zeit nur in der ersten Potenz vor. Wachsen 2.000 bei 3 % pro Jahr auf 2.300, beträgt der Zinsbetrag 300 und die Laufzeit Jahre. Die Algebra liefert innerhalb des Modells eine exakte Zahl. Ob ein Vertrag gebrochene Perioden zulässt oder auf ganze Abrechnungszyklen rundet, ist eine separate praktische Regel.
Beschrifte das Ergebnis immer eindeutig. "300" kann der Zinsbetrag sein, während "2.300" das Endkapital bezeichnet. Diese beiden Größen werden häufig verwechselt, selbst wenn jede Multiplikation korrekt ist.
