Kvadratens area: sida, omkrets och diagonal

Kvadratens area mäter det plana området innanför de fyra sidorna. En kvadrat har lika långa sidor och fyra räta vinklar. Eftersom bas och höjd båda är a blir arean a multiplicerat med a.

Varför kvadreras sidan?

En rektangels area är basen gånger den vinkelräta höjden. I en kvadrat är båda lika med sidan:

Med sidan 10 cm täcks figuren av tio rader med tio enhetskvadrater vardera. Totalt blir det 100:

Resultatet är 100 kvadratcentimeter, inte längden 100 cm. Två längder i centimeter multiplicerade med varandra ger en areaenhet.

Area och omkrets mäter olika saker

Omkretsen är sträckan runt kanten. Addera fyra sidor eller multiplicera en sida med fyra. En kvadrat med sidan 5 cm har omkretsen 20 cm:

Dess area är 25 kvadratcentimeter. En ram runt kvadraten gäller omkrets, medan täckning av insidan gäller area. Välj formel efter vilken storhet som efterfrågas.

Beräkna diagonalen

En diagonal förenar motstående hörn och delar kvadraten i två kongruenta rätvinkliga trianglar med kateterna a. Pythagoras kopplar diagonalen d till sidan:

Vid sidan 10 cm är diagonalen exakt tio gånger roten ur två centimeter, ungefär 14,14 cm. Den ska vara längre än sidan men kortare än två sidor tillsammans. Det hjälper dig att upptäcka fel.

Area när bara diagonalen är känd

Efter omskrivning är arean halva diagonalens kvadrat. Om arean är känd ger dess positiva kvadratrot sidlängden:

Hitta arean från en diagonal på 10 cm

En kvadrat har diagonalen 10 cm. Vi söker arean och sedan sidan. Den här gången är 10 cm inte en sidlängd.

1. Kvadrera diagonalen. Mellanresultatet är ännu inte kvadratens area.

   $$d^2={10}^2=100{\text{cm}}^2$$

2. Dividera med två med hjälp av sambandet från Pythagoras. Arean blir 50 kvadratcentimeter.

   $$A=\frac{100}{2}=50{\text{cm}}^2$$

3. Ta den positiva kvadratroten av arean för att få sidan. Förenkla rotuttrycket före avrundning.

   $$a=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\approx \mathrm{7,07}\text{cm}$$

Sidan är ungefär 7,07 cm och kortare än diagonalen på 10 cm, som den ska vara. Att använda 10 cm som sida skulle felaktigt ge 100 kvadratcentimeter.

En diagonal på 10 cm innebär 50 kvadratcentimeter. En sida på 10 cm innebär däremot 100 kvadratcentimeter. Identifiera den givna längden innan du sätter in den.

Omvandla enheter före kvadreringen

En sida på 50 cm är 0,5 m. Arean är 2 500 kvadratcentimeter eller 0,25 kvadratmeter. Att först omvandla sidan hindrar att en längdfaktor används direkt på en area. En kvadratmeter innehåller 10 000 kvadratcentimeter.

En fördubblad sida fördubblar omkretsen men fyrdubblar arean. Formlerna kräver en kvadrat: fyra lika sidor kan också bilda en romb, vars area beror på formen. Varje sidoyta på en kub är en kvadrat, och samma area räknas sex gånger för hela ytan.