Kvadratets areal: side, omkrets og diagonal

Kvadratets areal måler det plane området innenfor de fire sidene. Et kvadrat har like lange sider og fire rette vinkler. Siden grunnlinje og høyde begge er a, er arealet a multiplisert med a.

Hvorfor kvadreres siden?

Et rektangels areal er grunnlinjen ganger den vinkelrette høyden. I et kvadrat er begge lik sidelengden:

Med side 10 cm dekkes figuren av ti rader med ti enhetskvadrater i hver. Det blir 100 til sammen:

Resultatet er 100 kvadratcentimeter, ikke lengden 100 cm. To lengder i centimeter multiplisert med hverandre gir en arealenhet.

Areal og omkrets måler ulike ting

Omkretsen er strekningen langs kanten. Legg sammen de fire sidene eller gang én side med fire. Et kvadrat med side 5 cm har omkrets 20 cm:

Arealet er 25 kvadratcentimeter. En ramme rundt kvadratet gjelder omkrets, mens dekking av innsiden gjelder areal. Velg formelen etter størrelsen som etterspørres.

Beregn diagonalen

En diagonal forbinder motstående hjørner og deler kvadratet i to kongruente rettvinklede trekanter med kateter a. Pytagoras knytter diagonalen d til siden:

Ved side 10 cm er diagonalen nøyaktig ti ganger kvadratroten av to centimeter, omtrent 14,14 cm. Den skal være lengre enn siden, men kortere enn to sider til sammen. Dette hjelper deg med å oppdage feil.

Areal når bare diagonalen er kjent

Etter omskriving er arealet halvparten av diagonalens kvadrat. Kjenner du arealet, gir den positive kvadratroten sidelengden:

Finn arealet fra en diagonal på 10 cm

Et kvadrat har diagonalen 10 cm. Vi søker arealet og deretter siden. Denne gangen er 10 cm ikke en sidelengde.

1. Kvadrer diagonalen. Mellomresultatet er ennå ikke kvadratets areal.

   $$d^2={10}^2=100{\text{cm}}^2$$

2. Del på to ved hjelp av sammenhengen fra Pytagoras. Arealet blir 50 kvadratcentimeter.

   $$A=\frac{100}{2}=50{\text{cm}}^2$$

3. Ta den positive kvadratroten av arealet for å få siden. Forenkle rotuttrykket før avrunding.

   $$a=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\approx \mathrm{7,07}\text{cm}$$

Siden er omtrent 7,07 cm og dermed kortere enn diagonalen på 10 cm. Å bruke 10 cm som side ville feilaktig gitt 100 kvadratcentimeter.

En diagonal på 10 cm gir 50 kvadratcentimeter. En side på 10 cm gir derimot 100 kvadratcentimeter. Avklar hvilken lengde som er oppgitt før du setter den inn.

Omregn enheter før kvadrering

En side på 50 cm er 0,5 m. Arealet er 2 500 kvadratcentimeter eller 0,25 kvadratmeter. Å omregne siden først hindrer at en lengdefaktor brukes direkte på et areal. En kvadratmeter inneholder 10 000 kvadratcentimeter.

En doblet side dobler omkretsen, men firedobler arealet. Formlene krever et kvadrat: Fire like sider kan også danne en rombe, der arealet avhenger av formen. Hver flate på en kube er et kvadrat, så samme areal telles seks ganger for hele overflaten.