Área do quadrado: lado, perímetro e diagonal

A área de um quadrado mede a região plana interior aos seus quatro lados. O quadrado tem quatro lados iguais e quatro ângulos retos. Como a base e a altura têm o mesmo comprimento a, a área é o produto de a por si próprio.

Porque é a área igual ao quadrado do lado?

A área de um retângulo calcula-se multiplicando a base pela altura perpendicular. Num quadrado, ambas coincidem com o lado:

Um quadrado com 10 cm de lado pode ser coberto por dez filas de dez quadrados unitários. No total, são 100:

A área é 100 centímetros quadrados, não um comprimento de 100 cm. O produto de duas medidas em centímetros produz uma medida em centímetros quadrados.

Área e perímetro respondem a perguntas diferentes

O perímetro mede a distância à volta da figura. Some os quatro lados ou multiplique o comprimento de um deles por quatro. Um quadrado com lado de 5 cm tem perímetro de 20 cm:

A sua área é 25 centímetros quadrados. Uma moldura à volta do quadrado relaciona-se com o perímetro; revestir o interior relaciona-se com a área. Escolha a fórmula pela grandeza pedida, não apenas pelo número fornecido.

Como encontrar a diagonal

A diagonal une dois vértices opostos e divide o quadrado em dois triângulos retângulos congruentes. Os dois catetos medem a. O teorema de Pitágoras relaciona a diagonal d com o lado:

Com lado de 10 cm, a diagonal exata é dez vezes a raiz de dois centímetros, aproximadamente 14,14 cm. Deve ser maior do que o lado e menor do que dois lados somados. Esta comparação ajuda a detetar erros.

Como calcular a área conhecendo apenas a diagonal

Reorganizando a relação anterior, a área é metade do quadrado da diagonal. Se conhecer a área, a raiz quadrada positiva dá o comprimento do lado:

Obter a área a partir de uma diagonal de 10 cm

Um quadrado tem uma diagonal de 10 cm. Vamos determinar a área e depois o lado. Desta vez, 10 cm não é a medida do lado.

1. Eleve a diagonal ao quadrado. Este valor intermédio ainda não é a área do quadrado.

   $$d^2={10}^2=100{\text{cm}}^2$$

2. Divida por dois, usando a relação obtida pelo teorema de Pitágoras. A área resultante é 50 centímetros quadrados.

   $$A=\frac{100}{2}=50{\text{cm}}^2$$

3. Extraia a raiz quadrada positiva da área para obter o lado. Simplifique o radical antes de arredondar.

   $$a=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\approx \mathrm{7,07}\text{cm}$$

O lado mede aproximadamente 7,07 cm, menos do que a diagonal de 10 cm, como deve acontecer. Usar 10 cm como lado teria dado a área incorreta de 100 centímetros quadrados.

Uma diagonal de 10 cm corresponde a uma área de 50 centímetros quadrados. É diferente dos 100 centímetros quadrados de um quadrado cujo lado mede 10 cm. Identifique primeiro se o comprimento fornecido é um lado ou uma diagonal.

Converter unidades antes de elevar ao quadrado

Um lado de 50 cm equivale a 0,5 m. A área é 2 500 centímetros quadrados, ou 0,25 metros quadrados. Converter o lado primeiro evita aplicar à área um fator de conversão de comprimento. Um metro quadrado contém 10 000 centímetros quadrados.

Duplicar o lado duplica o perímetro, mas quadruplica a área. As fórmulas pressupõem um verdadeiro quadrado: quatro lados iguais também podem formar um losango, cuja área depende da forma. Cada face de um cubo é um quadrado, por isso a mesma área é somada seis vezes na superfície total.